Théorème d’Al-Kashi et orthogonalité : contrôle de maths en première

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Voici un contrôle de maths en première sur le thème « théorème d’Al-Kashi et orthogonalité », avec son barème et un corrigé détaillé.

Ce sujet met le produit scalaire au service du raisonnement géométrique. D’abord, tu appliques le théorème d’Al-Kashi pour calculer une longueur, puis des angles dans un triangle quelconque. Ensuite, tu démontres une orthogonalité dans un carré en décomposant des vecteurs avec la relation de Chasles.

Tu cherches aussi l’ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\), qui mène à un cercle. Enfin, deux problèmes concrets, un lac avec deux bateaux et un champ à clôturer, réinvestissent ces outils. Fais ce contrôle au deuxième trimestre, après le chapitre sur le produit scalaire, car il demande des démonstrations rédigées.

Ce qu’évalue le contrôle : théorème d’Al-Kashi et orthogonalité

L’essentiel du sujet

  • Niveaupremière
  • Durée1 heure 30 minutes
  • Calculatriceautorisée
  • Barèmesur 20

Chapitre : Produit scalaire (5 exercices)

Ce que ce devoir vérifie :

  • Calculer une longueur ou un angle d’un triangle quelconque avec le théorème d’Al-Kashi
  • Démontrer que deux droites sont perpendiculaires en décomposant des vecteurs avec la relation de Chasles
  • Déterminer l’ensemble des points M tels que le produit scalaire de MA et MB est nul
  • Utiliser le produit scalaire pour calculer la longueur d’une médiane
  • Résoudre un problème concret de distances et d’angles à l’aide du produit scalaire

Avant de commencer le devoir

Avant chaque calcul, repère la formule adaptée : Al-Kashi quand tu connais deux côtés et l’angle compris, ou les trois côtés. Pour prouver une orthogonalité, décompose chaque vecteur avec Chasles, puis développe le produit : beaucoup de termes s’annulent, car ils portent sur des vecteurs orthogonaux. Règle ta calculatrice en degrés, et garde les valeurs exactes jusqu’au bout. Enfin, vérifie qu’un angle trouvé reste cohérent avec la figure.

Le sujet du contrôle : théorème d’Al-Kashi et orthogonalité

Exercice 1 – Un triangle quelconque (4 points)

Dans le triangle \(ABC\) ci-dessous, on sait que \(AB = 5\) cm, \(AC = 8\) cm et \(\widehat{BAC} = 60^\circ\). Cependant, la figure n’est pas à l’échelle.

Triangle ABC avec AB = 5, AC = 8 et un angle de 60° codé en A, le côté BC marqué d'un point d'interrogation
  1. Calcule d’abord la longueur exacte \(BC\) à l’aide du théorème d’Al-Kashi. (1,5 point)
  2. Calcule ensuite \(\cos \widehat{ABC}\) sous forme de fraction, puis donne une mesure de \(\widehat{ABC}\) arrondie au dixième de degré. (1,5 point)
  3. Déduis-en alors une mesure de \(\widehat{ACB}\), puis vérifie-la par un autre calcul. (1 point)

Exercice 2 – Deux segments dans un carré (4 points)

\(ABCD\) est un carré de côté 6. De plus, le point \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([BC]\). On veut démontrer que les droites \((DI)\) et \((AJ)\) sont perpendiculaires.

Carré ABCD avec I milieu de [AB] et J milieu de [BC] codés, segment [DI] en bleu et segment [AJ] en orange
  1. Justifie d’abord que \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) et que \(\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BJ} = 0\). (1 point)
  2. Calcule ensuite \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BJ}\) et \(\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB}\). (1 point)
  3. En écrivant \(\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ}\), calcule \(\overrightarrow{DI} \cdot \overrightarrow{AJ}\). Conclus alors. (1 point)
  4. Retrouve enfin ce résultat avec des coordonnées, dans le repère orthonormé d’origine \(A\) où \(B(6 \,;\, 0)\) et \(D(0 \,;\, 6)\). (1 point)

Exercice 3 – Un ensemble de points (3 points)

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1 \,;\, 2)\) et \(B(5 \,;\, -6)\). On cherche alors l’ensemble \(\Gamma\) des points \(M(x \,;\, y)\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).

  1. Montre que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = x^2 – 4x + y^2 + 4y – 17\). (1 point)
  2. Vérifie que cette expression est égale à \((x – 2)^2 + (y + 2)^2 – 25\). Quelle est alors la nature de \(\Gamma\) ? Précise son centre et son rayon. (1 point)
  3. Le point \(E(5 \,;\, 2)\) appartient-il à \(\Gamma\) ? Qu’en déduis-tu donc pour le triangle \(AEB\) ? (1 point)

Exercice 4 – Deux bateaux sur le lac (4,5 points)

Depuis le ponton \(P\), Clémence observe deux voiliers : le voilier \(A\) est à 3 km et le voilier \(B\) à 5 km. De plus, l’angle \(\widehat{APB}\) mesure \(120^\circ\). Enfin, une bouée \(M\) est ancrée au milieu de \([AB]\).

Lac avec le ponton P, le voilier A à 3 km, le voilier B à 5 km, l'angle APB de 120° et la bouée M au milieu de [AB]
  1. Calcule la distance \(AB\) entre les deux voiliers. (1,5 point)
  2. Donne une mesure de l’angle \(\widehat{PAB}\), arrondie au dixième de degré. (1 point)
  3. Un canot de sécurité part de \(A\) et rejoint \(B\) en ligne droite à 14 km/h. Combien de minutes dure donc le trajet ? (0,5 point)
  4. Calcule \(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}\). Ensuite, en utilisant \(\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}\right)\), calcule la distance \(PM\) entre le ponton et la bouée, au mètre près. (1,5 point)

Exercice 5 – La clôture du champ (4,5 points)

Monsieur Ferrand possède un champ triangulaire \(ABC\) tel que \(AB = 60\) m, \(AC = 100\) m et \(\widehat{BAC} = 50^\circ\). Il veut ainsi entourer ce champ d’une clôture vendue 12 € le mètre.

Champ triangulaire ABC avec AB = 60 m, AC = 100 m et un angle de 50° codé au sommet A
  1. Calcule la longueur \(BC\), arrondie au dixième de mètre. (1,5 point)
  2. Quel est alors le prix de la clôture, arrondi à l’euro ? (1 point)
  3. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\). Calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), puis déduis-en la distance \(AH\) au dixième de mètre. (1 point)
  4. Monsieur Ferrand pense que l’angle du champ en \(B\) est droit. A-t-il raison ? Justifie par un calcul, car une lecture sur la figure ne suffit pas. (1 point)

Voir le corrigé du contrôle : théorème d'al-kashi et orthogonalité (première)

Réviser théorème d’Al-Kashi et orthogonalité avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon produit scalaire dans le plan ; entraîne-toi sur la fiche produit scalaire dans le plan avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.

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