Trigonométrie et produit scalaire : contrôle de maths en première

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Ce qu’évalue le contrôle : trigonométrie et produit scalaire

Le sujet du contrôle : trigonométrie et produit scalaire

Exercice 1 – Valeurs remarquables en action (4 points)

Dans cet exercice d’automatismes, aucune justification longue n’est attendue, mais chaque résultat doit être exact et simplifié.

1. Donne la valeur exacte de \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\), \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\) et \(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\). (1 point)
2. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) vérifient \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 4\) et forment un angle de \(\frac{\pi}{3}\). Calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (0,5 point)
3. Même question avec \(\|\vec{u}\| = 2\), \(\|\vec{v}\| = 5\) et un angle de \(\frac{3\pi}{4}\). (0,5 point)
4. Puis avec \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3}\), \(\|\vec{v}\| = 2\) et un angle de \(\frac{5\pi}{6}\). (0,5 point)
5. Deux vecteurs non nuls ont un produit scalaire nul. Quelle est alors la mesure de leur angle géométrique ? (0,5 point)
6. Trouve enfin le réel \(\theta\) de l’intervalle \([0\,;\,\pi]\) tel que \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). (1 point)

Exercice 2 – Des angles grâce aux coordonnées (4 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \(\vec{u}(3\,;\,1)\), \(\vec{v}(1\,;\,2)\), \(\vec{w}(-1\,;\,3)\) et \(\vec{t}(-2\,;\,1)\). On note ensuite \(\theta\) l’angle géométrique formé par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

1. Calcule d’abord \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) à l’aide des coordonnées. (0,5 point)
2. Calcule ensuite \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\). (1 point)
3. Déduis-en \(\cos \theta\), puis la mesure de \(\theta\) en radians. (1 point)
4. Détermine de même l’angle géométrique formé par \(\vec{u}\) et \(\vec{t}\). (1 point)
5. Sans calculer de norme, montre que \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) forment un angle droit. (0,5 point)

Exercice 3 – L’hexagone régulier (3 points)

L’hexagone \(ABCDEF\) ci-dessous est régulier, de centre \(O\) et de côté 2. Ainsi, les six triangles \(OAB\), \(OBC\), …, \(OFA\) sont équilatéraux.

1. Donne les mesures des angles \(\widehat{AOB}\), \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{AOD}\) en radians, puis calcule \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}\) et \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD}\). (1,5 point)
2. Sachant que l’angle \(\widehat{FAB}\) mesure \(\frac{2\pi}{3}\), calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}\). (1 point)
3. Compare les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\), puis déduis-en \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{ED}\). (0,5 point)

Exercice 4 – Un triangle obtus (4 points)

Dans le triangle \(ABC\) ci-dessous, on a \(AB = 5\), \(AC = 3\) et \(\widehat{BAC} = \frac{2\pi}{3}\).

1. Calcule tout d’abord \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\). (1 point)
2. À l’aide du théorème d’Al-Kashi, montre que \(BC = 7\). (1,5 point)
3. En utilisant \(\overrightarrow{BA} – \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\), démontre que \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left(BA^2 + BC^2 – AC^2\right)\), puis calcule sa valeur. (1 point)
4. L’angle \(\widehat{ABC}\) est-il aigu ou obtus ? Justifie, car un simple coup d’œil sur la figure ne suffit pas. (0,5 point)

Exercice 5 – Le traîneau de Maëlle (5 points)

Maëlle tire son traîneau sur une piste horizontale rectiligne de 200 m. Pour cela, elle exerce, par une corde, une force \(\vec{F}\) d’intensité 50 N qui fait un angle de \(\frac{\pi}{6}\) avec la piste. En physique, le travail de la force pendant le déplacement \(\vec{d}\) vaut \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\), exprimé en joules (J). On donne \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) et \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\).

1. Calcule la valeur exacte du travail \(W_1\) de la force de Maëlle, puis une valeur approchée à l’unité. (1,5 point)
2. Son frère Timéo tire le même traîneau sur la même distance, avec une force de 80 N inclinée de \(\frac{\pi}{3}\). Calcule le travail \(W_2\) de sa force. (1 point)
3. Qui fournit donc le plus grand travail ? (0,5 point)
4. Avec une corde inclinée de \(\frac{\pi}{4}\), quelle force faudrait-il exercer pour obtenir le même travail que Timéo ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième. (1 point)
5. Maëlle garde une force de 50 N. Quel angle \(\alpha\) de \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\) donnerait alors un travail de 5 000 J ? (1 point)

Réviser trigonométrie et produit scalaire avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon fonctions trigonométriques puis produit scalaire dans le plan ; entraîne-toi sur la fiche angles orientés et trigonométrie et produit scalaire dans le plan avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.

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