Second degré et optimisation : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « second degré et optimisation », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet te demande de mettre le second degré au service de problèmes concrets. D’abord, tu écris une fonction sous forme canonique pour lire son sommet et ses variations. Ensuite, tu modélises une aire à rendre maximale, puis la hauteur d’un ballon au cours du temps.
Tu étudies aussi le signe d’un trinôme pour savoir quand un artisan fait du bénéfice. Enfin, le dernier exercice discute le nombre de points communs entre une parabole et une droite selon un paramètre m, grâce au discriminant. Fais ce contrôle au premier trimestre, juste après le chapitre sur les polynômes du second degré, car il prépare aussi l’épreuve anticipée.
Ce qu’évalue le contrôle : second degré et optimisation
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure 30 minutes
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Second degré (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Écrire un polynôme du second degré sous forme canonique pour trouver son extremum
- Mettre en équation une situation concrète et optimiser une aire ou un bénéfice
- Résoudre une équation ou une inéquation du second degré à l’aide d’une forme adaptée
- Étudier le signe d’un trinôme pour déterminer un intervalle de rentabilité
- Discuter le nombre de solutions d’une équation selon la valeur d’un paramètre m
Avant de commencer le devoir
Pour chaque problème, commence par préciser l’intervalle où vit la variable : une longueur ou un temps ne peut pas être négatif. Ensuite, choisis la forme la plus utile : la forme canonique donne le sommet, alors que la forme factorisée donne les racines et le signe. Vérifie toujours une forme en la redéveloppant. Enfin, termine chaque exercice par une phrase-réponse avec l’unité, car c’est elle qui répond à la question posée.
Le sujet du contrôle : second degré et optimisation
Exercice 1 – Forme canonique et sommet (3 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -2x^2 + 12x – 10\).
- Montre que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = -2(x – 3)^2 + 8\).
- Déduis-en le tableau de variations de \(f\), puis son extremum, en précisant s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.
- Résous ensuite l’équation \(f(x) = 0\) à l’aide de la forme canonique, puis écris \(f(x)\) sous forme factorisée.
Exercice 2 – L’enclos contre le mur (4,5 points)
Sofiane dispose de 40 mètres de grillage pour construire un enclos rectangulaire à poules contre le mur de sa grange. Le mur forme un côté, donc le grillage ne sert que pour les trois autres. On note \(x\) la largeur de l’enclos, en mètres, comme sur le schéma.
- Explique pourquoi le côté parallèle au mur mesure \(40 – 2x\), puis pourquoi \(x\) appartient à \(]0 \,;\, 20[\). Montre alors que l’aire de l’enclos vaut \(A(x) = -2x^2 + 40x\).
- Écris \(A(x)\) sous forme canonique.
- Quelles dimensions Sofiane doit-il choisir pour obtenir une aire maximale ? Donne aussi cette aire.
- Ses poules ont besoin d’au moins \(150\text{ m}^2\). Détermine l’ensemble des largeurs \(x\) qui conviennent.
Exercice 3 – La trajectoire du ballon (4,5 points)
Depuis le haut d’une falaise, Timéo lance un ballon vers le haut. Sa hauteur au-dessus de la plage, en mètres, est donnée en fonction du temps \(t\), en secondes, par \(h(t) = -5t^2 + 10t + 15\), pour \(t \geq 0\) et jusqu’à ce que le ballon touche le sable. La courbe de \(h\) est tracée ci-dessous.
- Calcule \(h(0)\), puis interprète ce résultat.
- Vérifie que \(h(t) = -5(t – 1)^2 + 20\). Déduis-en la hauteur maximale atteinte par le ballon et l’instant où elle est atteinte.
- Vérifie aussi que \(h(t) = -5(t – 3)(t + 1)\). À quel instant le ballon touche-t-il le sable ?
- Pendant combien de temps le ballon est-il au-dessus de la falaise, c’est-à-dire à au moins 15 m ? Justifie par le calcul.
Exercice 4 – Le bénéfice du céramiste (4 points)
Un céramiste fabrique chaque jour \(x\) bols, avec \(x\) compris entre 0 et 35. Le coût de fabrication, en euros, vaut \(C(x) = x^2 + 12x + 180\). De plus, chaque bol est vendu 48 €, et toute la production est vendue.
- Montre que le bénéfice journalier vaut \(B(x) = -x^2 + 36x – 180\).
- Calcule le discriminant de \(B(x)\), puis trouve ses racines.
- Dresse le tableau de signes de \(B(x)\) sur \([0 \,;\, 35]\). Combien de bols le céramiste doit-il fabriquer pour être rentable ?
- Détermine enfin le nombre de bols qui rend le bénéfice maximal, ainsi que ce bénéfice.
Exercice 5 – Une droite qui dépend de m (4 points)
Soit \(P\) la parabole d’équation \(y = x^2 – 2x + 3\). Pour tout réel \(m\), on note \(D_m\) la droite d’équation \(y = mx + 2\). La figure montre \(P\), \(D_{1/2}\) et \(D_0\).
- Lis sur le graphique les coordonnées des points communs à \(P\) et \(D_{1/2}\).
- Retrouve ces points par le calcul, en résolvant \(2x^2 – 5x + 2 = 0\) après avoir justifié cette équation.
- Dans le cas général, montre que les abscisses des points communs à \(P\) et \(D_m\) vérifient \(x^2 – (2 + m)x + 1 = 0\), puis que le discriminant vaut \(\Delta = m^2 + 4m\).
- Selon les valeurs de \(m\), donne le nombre de points communs à \(P\) et \(D_m\). Que peut-on dire alors de la droite \(D_0\) ?
Réviser second degré et optimisation avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon les équations et les inéquations du second degré ; entraîne-toi sur la fiche second degré et polynômes avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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