Fonction exponentielle : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.

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Mis à jour le 29 mai 2025

📚Cours de MathématiquesPremière • lycée
Fonction exponentielle
⏱️Temps de lecture : 3 min
🎯Difficulté : Avancé
📚Cycle terminal
📋Prérequis : Programme 2nde maîtrisé
📄Format PDF disponible gratuitement
La fonction exponentielle à travers un cours de maths en 1ère complet. Vous devrez connaître l’ensemble de définition de cette fonction ainsi que sa dérivée. Appliquer les différentes formulés de calculs et savoir calculer des limites en un point ou en l’infini. Étudiez la courbe et son sens de variation afin de pouvoir la tracer en terminale.

I.La fonction exponentielle

Lemme :
Si il existe une fonction f dérivable sur \mathbb{R} telle que f'=fet f(0)=1 alors f ne s’annule pas sur \mathbb{R}.
Théorème :
Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f'=f et f(0)=1.
Définition :

On appelle fonction exponentielle, notée exp, l’unique fonction dérivable sur R et telle que f'=f et f(0)=1.Nous noterons cette fonction définie par f(x)=e^x et e^0=1.

II.Les propriétés de la fonction exponentielle

Théorème :

On considère deux nombres réels x et y.Nous avons e^{x+y}=e^xe^y.

Exemple :

e^{5+2}=e^5e^2

Propriétés :

On considère deux nombres réels x et y et n un entier naturel.Nous avons les propriétés suivantes :

  • e^{-x}=\frac{1}{e^x};
  • e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y};
  • e^{nx}=(e^x)^n

Exemple :

e^{-2}=\frac{1}{e^2}

\frac{e^7}{e^5}=e^{7-5}=e^2

III.Etude de la fonction exponentielle

1.Le signe et ses variations

Propriété :

On considère la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=e^x.

  • f est continue sur \mathbb{R};
  • f est strictement positive sur \mathbb{R};
  • f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

2.Les limites en l’infini

Propriété :

On considère la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=e^x.

Nous avons \lim_{x\to\,+\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x\to\,-\infty}f(x)=0^+.

3.Tableau de variation et courbe représentative

Propriété :

On considère la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=e^x.

tableau variations exponentielle

courbe exponentielle

Remarques :

La droite d’équation y=0 est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en -\infty.

La droite d’équation y=x+1st une asymptote oblique à la courbe de la fonction exponentielle en 0.

3.Equations et inéquations

Propriété :

On considère deux nombres réels x et y.e^x=e^y\Leftrightarrow\,x=y

x<y\Leftrightarrow\,e^x<e^y

Autre version de cette leçon

I. Définition et variations de la fonction exponentielle.

Définition :

Soit a un réel strictement positif.

Une fonction f définie pour tout réel x\in\,[0;+\infty[ par f(x)=a^x est une fonction exponentielle.

Propriété :

Une fonction exponentielle f  définie sur  [0;+\infty[ par f(x)=a^x  avec a >0 est :

  1. strictement croissante sur [0;+\infty[ si, et seulement si, a >1;
  2. strictement décroissante sur [0;+\infty[ si, et seulement si, 0 < a < 1;
  3. constante sur  [0;+\infty[  si, et seulement si, a = 1.

courbe de la fonction exponentielle

II. Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Propriétés :

Pour tous réels positifs x et y et pour tous réels strictement positifs a et b, on a :

  1. a^x\times \,a^y=a^{x+y};
  2. \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}  ;
  3. (a^x)^y=a^{x\times \,y};
  4. a^x\times \,b^x=(a\times \,b)^x;
  5. \frac{a^x}{b^x}=\,(\,\frac{a}{b}\,\,)^x.
Propriété : cas de la puissance \frac{1}{n}.

Soient a et x deux nombres réels strictement positifs et n un nombre entier non nul.

L’équation x^n=a admet comme unique solution positive le réel x=\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}  appelée racine n-ième de a.

Propriété :

Si une grandeur subit une évolution de taux t, alors elle atteint la même valeur en subissant n évolutions successives  de même taux (1+t)^{\frac{1}{n}}-1 où n un nombre entier naturel non nul.

Définition:

Le nombre (1+t)^{\frac{1}{n}}-1 est appelé taux moyen des n évolutions successives de taux global t.

cours exponentielle 1

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À propos de l’auteur

Professeur de maths

Enseignant titulaire en mathématiques de l'Éducation Nationale depuis 2001.
Spécialisé en pédagogie au collège et lycée et préparation au brevet et au baccalauréat.
✓ 24 ans d'expérience • ✓ Expert pédagogie différenciée

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