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Exponentielle : cours sur les fonctions en terminale S

cours terminale

I.La fonction exponentielle

Lemme :
Si il existe une fonction f dérivable sur \mathbb{R} telle que f'=fet f(0)=1 alors f ne s’annule pas sur \mathbb{R}.
Théorème :
Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f'=f et f(0)=1.
Définition :

On appelle fonction exponentielle, notée exp, l’unique fonction dérivable sur R et telle que f'=f et f(0)=1.Nous noterons cette fonction définie par f(x)=e^x et e^0=1.

II.Les propriétés de la fonction exponentielle

Théorème :

On considère deux nombres réels x et y.Nous avons e^{x+y}=e^xe^y.

Exemple :

e^{5+2}=e^5e^2

Propriétés :

On considère deux nombres réels x et y et n un entier naturel.Nous avons les propriétés suivantes :

  • e^{-x}=\frac{1}{e^x};
  • e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y};
  • e^{nx}=(e^x)^n

Exemple :

e^{-2}=\frac{1}{e^2}

\frac{e^7}{e^5}=e^{7-5}=e^2

III.Etude de la fonction exponentielle

1.Le signe et ses variations

Propriété :

On considère la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=e^x.

  • f est continue sur \mathbb{R};
  • f est strictement positive sur \mathbb{R};
  • f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

2.Les limites en l’infini

Propriété :

On considère la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=e^x.

Nous avons \lim_{x\to\,+\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x\to\,-\infty}f(x)=0^+.

3.Tableau de variation et courbe représentative

Propriété :

On considère la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} par f(x)=e^x.tableau variations exponentielle

courbe exponentielle

Remarques :

La droite d’équation y=0 est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en -\infty.

La droite d’équation y=x+1st une asymptote oblique à la courbe de la fonction exponentielle en 0.

3.Equations et inéquations

Propriété :

On considère deux nombres réels x et y.e^x=e^y\Leftrightarrow\,x=y

x<y\Leftrightarrow\,e^x<e^y

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