Loi binomiale et intervalle de fluctuation : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Une pièce truquée a une probabilité de \(\dfrac{3}{4}\) de tomber sur face lorsqu^{\prime}on la lance.

Sara envisage de jouer au jeu suivant : on lance la pièce, et on observe le résultat obtenu :

• si la pièce tombe sur pile, on gagne \(8\) € ;
• si la pièce tombe sur face, on perd \(4\) €

Doit-on conseiller à Sara de jouer à ce jeu ?

On lance quatre fois de suite une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois Pile ?

Une urne contient des boules rouges, des boules noires et des boules vertes. Elle contient deux fois plus de boules rouges que de boules noires, et trois fois plus de boules vertes que de boules rouges.

On tire au hasard une boule dans l’urne.

Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

Simplifier les nombres suivants :

1. \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\)
2. \(14\times\left(\dfrac{2}{7}\right)^2\times\left(\dfrac{5}{7}\right)^3\)
3. \(1000\times\left(\dfrac{1}{10}\right)^2\times\left(\dfrac{9}{10}\right)^8\)
4. \(45\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^5\times\left(\dfrac{6}{5}\right)^3\)

Zehuan joue à un jeu avec un dé cubique équilibré. S’il obtient \(5\) ou plus au résultat du dé, il gagne \(10\) €, sinon il perd \(4\) €.

1. Pourquoi cette expérience aléatoire est-elle une expérience de Bernoulli ?
2. On note \(X\) son gain après une partie. Déterminer l’espérance de \(X\).

Voici la loi de probabilité de \(X\).

Déterminer la valeur de \(p\).

Voici la loi de probabilité de \(X\).

Calculer \(P(X\leqslant 0)\), \(P(X\gt 3)\), \(P(X\geqslant 3)\) et \(P(-2\lt X\leqslant 3)\).

Voici la loi de probabilité de \(X\).

Calculer \(E(X)\).

Voici la loi de probabilité de \(X\).

Déterminer la valeur de \(a\) sachant que \(E(X)=12\).

On donne ci-dessous la loi de probabilité d’une variable aléatoire \(X\).

Déterminer la valeur de \(a\) sachant que \(E(X)=0\).

Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire \(X\).

Déterminer la valeur de \(p\).

Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire \(X\).

Calculer \(P(X\geqslant 1)\), \(P(1\leqslant X\leqslant 2)\) et \(P(X\lt 2)\).

Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire \(Y\).

Déterminer l^{\prime}espérance de la variable aléatoire \(Y\).

Voici la composition d’un jeu de domino.

On tire au hasard un domino.

Soit \(S\) la variable aléatoire qui donne la somme des points inscrits sur le domino.

Déterminer la loi de probabilité de \(S\).

Une urne contient les jetons, indiscernables au toucher, représentés ci-dessous.

1. Soit \(X\) la variable aléatoire qui associe, au tirage d’un jeton dans l’urne, la valeur du nombre inscrit sur celui-ci. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
2. On suppose maintenant que les jetons verts comptent double, les jetons rouges comptent pour moitié et les jetons bleus sont sans effet. Soit \(Y\) la variable aléatoire qui associe, au tirage d’un jeton dans l’urne, la valeur du nombre inscrit sur celui-ci en tenant compte des modifications. Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

Un jeu de tarot comporte \(78\) cartes :

• \(56\) cartes « classiques » (\(14\) de chaque couleur : roi - dame - cavalier - valet - \(10\) - \(9\) - \(8\) - \(7\) - \(6\) - \(5\) - \(4\) - \(3\) - \(2\) - as) ;
• \(21\) atouts (numérotés de \(1\) à \(21\)) ;
• un joker appelé « excuse ».

Lors du comptage des points à la fin d’une partie, les cartes n’ont pas la même valeur :

• un roi, l’atout \(1\), l’atout \(21\) et l’excuse rapportent \(4{,}5\) points ;
• une dame rapporte \(3{,}5\) points ;
• un cavalier rapporte \(2{,}5\) points ;
• un valet rapporte \(1{,}5\) point ;
• toutes les autres cartes rapportent \(0{,}5\) point.

Soit \(X\) la variable aléatoire qui au tirage d’une carte d’un jeu de tarot associe sa valeur en points. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).

Lors d’une kermesse, dans un stand, sont disposées trois roues. Chaque roue est divisée en douze secteurs de même aire. Une roue étant lancée, elle s’arrête aléatoirement face à la flèche sur un seul secteur. On admettra que tous les secteurs ont la même probabilité d’être « tirés ».

Pour participer, un joueur choisit l’une des trois roues, acquitte la mise correspondant à la roue choisie, puis lance cette roue. Si le secteur « tiré » est jaune, le joueur reçoit le gain correspondant à la roue choisie.

• \(R_1\) : mise : \(1{,}50\) €, gain : \(8\) €
• \(R_2\) : mise : \(1\) €, gain : \(4\) €
• \(R_3\) : mise : \(1\) €, gain : \(2\) €

Soit \(X\) (respectivement \(Y\) et \(Z\)) la variable aléatoire donnant le gain du joueur qui lance la roue R1 (respectivement R2 et R3). Déterminer la loi de probabilité de \(X\), \(Y\) et \(Z\).

Le jeu de Scrabble est composé de \(102\) jetons : \(2\) jokers qui rapportent \(0\) point et les \(26\) lettres de l’alphabet sont réparties de la façon suivante.

Par exemple, \(9\) jetons portent la lettre A et rapportent \(1\) point, \(2\) jetons portent la lettre B et rapportent \(3\) points, \(2\) jetons portent la lettre C et rapportent \(3\) points, etc.

Soit \(X\) la variable aléatoire qui associe au tirage d’un jeton le nombre de points que celui-ci rapporte. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).

Le jeu de Uno est composé de \(108\) cartes réparties de la façon suivante :

• \(76\) cartes numérotées de \(0\) à \(9\) (\(19\) de chacune des quatre couleurs, neuf paires de même valeur et un seul \(0\)) ;
• \(32\) cartes spéciales (huit cartes « inversion », huit cartes « passe ton tour », huit cartes « +2 », quatre cartes « +4 » et quatre cartes « joker »).

Dans le comptage des points, les cartes numérotées rapportent autant de points que le nombre qu’elles représentent, les cartes « inversion », « passe ton tour » et « +2 » rapportent \(20\) points et les cartes « +4 » et « joker » rapportent \(50\) points.

Soit \(Y\) la variable aléatoire qui au tirage d’une carte du jeu de Uno associe sa valeur en points. Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

Une biscuiterie fabrique des cookies qu’elle conditionne en sachets. Les cookies peuvent être aux pépites de chocolat au lait, de chocolat noir ou de chocolat blanc et peuvent contenir ou non des éclats de noisettes.

Pour déterminer le prix \(P\) d’un sachet de cookies, la biscuiterie utilise l’algorithme suivant.

\(P\leftarrow 2{,}5\)

Si les cookies sont aux pépites de chocolat noir :

    \(P\leftarrow P+1\)

Sinon :

    Si les cookies sont aux pépites de chocolat blanc :

        \(P\leftarrow P+0{,}5\)

    Fin Si

Fin Si

Si les cookies ont des éclats de noisettes :

    \(P\leftarrow P+0{,}5\)

Fin si

1. Déterminer le prix à payer pour un sachet de différentes variétés de cookies.
2. Les six types de cookies ont exactement la même probabilité d’être produits. On appelle \(X\) la variable aléatoire qui associe à un sachet de cookies son prix de vente. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).

On étudie le comportement d’une souris dans le labyrinthe ci-dessous.

À chaque intersection, la souris choisit au hasard et de manière équiprobable une direction. Soit \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de fromages que la souris a mangés en traversant le labyrinthe.

Déterminer la loi de probabilité de \(X\).

La planche de Galton. Un joueur lâche une bille sur une planche inclinée sur laquelle sont plantés des clous comme sur la figure ci-dessous.

À chaque clou rencontré, la bille passe indifféremment à droite ou à gauche. En fin de parcours, elle tombe dans l’une des cases numérotées de \(0\) à \(4\). Le numéro de la case est donc le nombre de fois où la bille est descendue à droite lors de son parcours.

1. Traduire cette situation par un arbre de probabilité.
2. Soit \(X\) la variable aléatoire qui au lancer d’une bille associe le numéro de la case dans laquelle elle termine son parcours. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).

On lance un dé icosaédrique, dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(20\), que l’on suppose bien équilibré.

On marque :

• \(2\) points si le nombre obtenu est pair ;
• \(3\) points si le nombre obtenu est premier ;
• \(5\) points si le nombre obtenu est un multiple de \(5\) ;
• \(7\) points si le nombre obtenu est un carré parfait.

Les points sont cumulables.

Soit \(X\) la variable aléatoire qui associe au lancer du dé le nombre de points marqués par le joueur.

1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
2. En déduire \(P(X\leqslant 5)\), \(P(3\leqslant X\leqslant 7)\) et \(P(X\gt 7)\).

On donne dans le tableau ci-dessous la loi de probabilité d’une variable aléatoire \(X\).

1. Déterminer la valeur de \(p\).
2. Quelle valeur faut-il donner à \(a\) pour que \(E(X)=2\) ?

Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous.

La probabilité d’atteindre une zone de couleur est proportionnelle à sa surface. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. Quelles sont les probabilités d’atteindre chacune des cinq zones colorées ?
2. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
   1. Donner la loi de probabilité de \(X\).
   2. Calculer \(E(X)\) et interpréter le résultat.

Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous.

• La zone rouge est un cercle de rayon \(10\ \text{cm}\).
• La zone orange est une couronne dont le grand rayon est \(30\ \text{cm}\).
• La zone jaune est une couronne dont le grand rayon est \(50\ \text{cm}\).
• La zone bleue est une couronne dont le grand rayon est \(70\ \text{cm}\).

La probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à sa surface.

On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. Calculer la surface totale de la cible puis les probabilités d’atteindre les différentes zones ?
2. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
   1. Donner la loi de probabilité de \(X\).
   2. Calculer \(E(X)\) et interpréter le résultat.

Un Rubik’s cube est constitué de \(27\) petits cubes sur lesquels sont collées des étiquettes de couleur. On détache les petits cubes, indiscernables au toucher, et on les place dans une urne. On en tire un au hasard.

Soit \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de faces colorées sur le petit cube.

1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
2. Calculer \(E(X)\) et interpréter le résultat.

Un jeu consiste à faire tourner la roue ci-contre après avoir payé une mise. Les nombres inscrits dans les différents secteurs correspondent au gain (en euro) remporté par le joueur avant déduction de la mise payée.

Quelle doit être la mise payée par le joueur pour que le jeu soit équitable ?

Une coccinelle se déplace en partant du point A sur la figure ci-contre. À chaque intersection, la coccinelle choisit au hasard une direction (elle peut revenir sur ses pas). On s’intéresse aux trajets composés de trois déplacements.

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.
2. Soit \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points différents visités par la coccinelle (y compris le point A).
   1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
   2. Calculer \(E(X)\) et interpréter le résultat.
3. Simuler la variable aléatoire \(X\) à l’aide d’un programme Python.

Dans une fête foraine, après avoir payé \(5\ \text{€}\), le joueur lance un dé à six faces colorées dont le patron est donné ci-dessous.

Il lance ensuite la roue correspondant à la couleur de la face obtenue. Le secteur obtenu en lançant la roue correspond au montant d’argent qu’il reçoit.

Ce jeu est-il équitable ?

On souhaite percer un nouveau tunnel de cinq kilomètres de long. Le premier jour, 300 mètres sont creusés. Chaque jour, la longueur de forage diminue de 5 mètres. Au bout de combien de jours le tunnel sera-t-il percé ?

Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous :

\(ABCD\) est un carré de côté 6 et \(I\) est le milieu de \([CD]\). \(M\) est un point mobile sur le segment \([AB]\) et \(N\) et \(P\) sont tels que \(AMNP\) est un carré.

La probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à sa surface. Une zone est composée de tous les polygones de même couleur. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. 1. Exprimer en fonction de \(x\) les probabilités d’atteindre les différentes zones.
   2. Quelle valeur faut-il donner à \(x\) pour que la probabilité d’atteindre la zone jaune soit maximale ?
2. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
   1. Donner la loi de probabilité de \(X\).
   2. Exprimer \(E(X)\) en fonction de \(x\).
   3. Peut-on avoir \(E(X) = 0\) ? Justifier.

Voici la répartition de la population du Danemark selon le sexe et l’âge en 2021.

Source : Université de Sherbrooke

Arrondir les résultats au dixième.

1. Calculer la fréquence marginale des individus : • de 0 à 20 ans ; • de 60 ans et plus.
2. Calculer la fréquence conditionnelle des femmes parmi les individus : • de 0 à 20 ans ; • de 60 ans et plus.
3. Recopier et compléter ce tableau des fréquences.
   

   Âge	Homme	Femmes
   \([0\,;20[\)	\(23{,}2\ \%\)
   \([20\,;40[\)
   \([40\,;60[\)
   60 et plus
   Total	\(100\ \%\)	\(100\ \%\)

Un club compte 200 adhérents. Parmi eux, 70 pratiquent la natation (N) et 60 sont des femmes (F).

On tire au hasard la fiche de l’un des adhérents à ce club. On sait de plus que les événements N et F sont indépendants. On se propose de compléter le tableau croisé.

1. Calculer \(P(N)\). Exprimer \(P_F(N)\) en fonction de \(n\).
2. On sait que les événements N et F sont indépendants. Que peut-on en déduire pour \(P(N)\) et \(P_F(N)\) ? Calculer \(n\).

On choisit successivement et au hasard deux billes de l’urne ci-contre et on note les couleurs obtenues : J pour jaune et B pour bleue.

Pour chaque situation, recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, puis calculer la probabilité que les deux billes soient de couleurs différentes.

Situation 1 : Les tirages s’effectuent avec remise.

Situation 2 : Les tirages s’effectuent sans remise.

Un supermarché envisage de s’implanter à proximité d’un village.

La mairie effectue une enquête d’opinion auprès de ses habitants afin de savoir s’ils sont favorables ou non à cette implantation.

Sur les \(1\,800\) habitants à s^{\prime}être prononcés, il y avait 850 hommes (H).

On sait de plus que 340 hommes et 608 femmes sont favorables (F) au projet.

Dans le listing des habitants à s^{\prime}être prononcés, on tire un nom au hasard.

1. Recopier et compléter l^{\prime}arbre pondéré ci-contre.
2. Calculer la probabilité \(P(F)\).
3. Sachant que l’habitant choisi au hasard est favorable au projet, calculer la probabilité que ce soit une femme. Arrondir au centième.

1. Voici un programme écrit en langage Python qui permet, sur 10 000 expériences, d’obtenir la fréquence \(f\) d’apparition d’une somme égale à 9.
   1. Expliquer le rôle des lignes (1) à (4).
   2. Saisir et exécuter ce programme. Indiquer la valeur de \(f\) affichée. Arrondir au millième.

Programme :
from random import *
n=0
for i in range(10000):
    a=randint(1,6) (1)
    b=randint(1,6) (2)
    c=randint(1,6) (3)
    S=a+b+c (4)
    if S==9:
        n=n+1
f=n/10000
print("f=",f)

2. 1. Que faut-il modifier dans le programme précédent pour obtenir la fréquence \(g\) d’apparition d’une somme égale à 10 ?
   2. Saisir et exécuter ce nouveau programme. Indiquer la valeur de \(g\) affichée. Arrondir au millième.
3. La conjecture du Grand Duc de Toscane semble-t-elle correcte ?

1. En lançant trois fois de suite un dé équilibré à six faces, on obtient des triplets, par exemple \((2\,;1\,;6)\). Justifier qu’il existe 216 triplets différents.
2. Voici tous les triplets pour lesquels la somme des numéros obtenus est égale à 10.
   \((1\,;3\,;6)\) \((1\,;4\,;5)\) \((1\,;5\,;4)\) \((1\,;6\,;3)\) \((2\,;2\,;6)\) \((2\,;3\,;5)\) \((2\,;4\,;4)\) \((2\,;5\,;3)\) \((2\,;6\,;2)\)
   \((3\,;1\,;6)\) \((3\,;2\,;5)\) \((3\,;3\,;4)\) \((3\,;4\,;3)\) \((3\,;5\,;2)\) \((3\,;6\,;1)\) \((4\,;1\,;5)\) \((4\,;2\,;4)\) \((4\,;3\,;3)\)
   \((4\,;4\,;2)\) \((4\,;5\,;1)\) \((5\,;1\,;4)\) \((5\,;2\,;3)\) \((5\,;3\,;2)\) \((5\,;4\,;1)\) \((6\,;1\,;3)\) \((6\,;2\,;2)\) \((6\,;3\,;1)\)
   En déduire la probabilité d’obtenir une somme égale à 10.
3. Procéder de manière analogue pour calculer la probabilité d’obtenir une somme égale à 9.
4. La conjecture du Grand Duc de Toscane est-elle correcte ? Justifier.