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Fonctions trigonométriques : Cours Maths 1ère et leçon PDF en première.

Les fonctions trigonométriques à travers un cours de maths en 1ère. Nous aborderons le repérage sur le cercle trigonométrique et sa définition. L’élève devra connaître la définition du radian ainsi que des fonctions cosinus et sinus ainsi que leurs différentes valeurs remarquables en première.

Dans tout le chapitre on se place dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; l, J).
La droite numérique Peut également être appelée droite des réels.

I. Repérage sur le cercle trigonométrique

Définition : cercle trigonométrique.

On appelle cercle trigonométrique le cercle \zeta de centre l’origine O du repère
et de rayon r = 0I=1.

cercle trigonométrique
Remarque :

Le périmètre P du cercle trigonométrique est égal à :
P=2\pi\times   r=2\pi\times   1=2\pi.

Propriété : orientation sur le cercle trigonométrique .

On choisit une orientation sur le cercle trigonométrique \zeta :
• le sens direct (ou positif ou encore trigonométrique) est contraire au sens de rotation des aiguilles
d’ une montre ;
• le sens indirect (ou négatif) est le sens de rotation des aiguilles d’une montre.

Exemple :
Le panneau de signalisation ci-dessous sert à indiquer le sens de parcours à prendre lors
de l’abord d’un carrefour giratoire. Le sens utilisé est le sens trigonométrique.

panneau signalisation

Propriété : repérage.

Pour repérer un M du cercle trigonométrique, on  » enroule  » autour du
cercle un axe vertical orienté vers le haut, gradué, d’origine le point I.

On peut alors associer un réel x à ce point M, x étant l’abscisse d’un point de l’axe qui
Vient se superposer au M.

On dit alors que ce point M est le point-image de x sur le cercle trigonométrique, ce que l’on peut noter M_x.

repérage
Remarques :

  • Lorsqu’on enroule l’axe dans le sens direct, ce sont des points d’abscisses positives qui se superposent à M ; dans le sens indirect, ce sont des d’abscisses négatives.
  •  Tout point sur le cercle trigonométrique se repère par plusieurs nombres réels,
    distants d’un multiple de 2\pi (périmètre du cercle trigonométrique), selon le
    nombre de tours complets de l’enroulement de l’axe.

Exemples :

  • Les points de la droite des réels O ; 2\pi; 4\pi, et plus généralement de la forme 2k\pi(k\in\mathbb{Z}) ont pour
    image le même point à savoir I.
  • Les points \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2} et plus généralement de la forme \frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in \mathbb{Z}) ont pour image le même point, à savoir J.

Remarque :

  • A chaque réel x on associe un point M sur le cercle trigonométrique.
  • Ce réel x est lié à l’angle au centre et donc la longueur d’arc de cercle trigonométrique associée.

Définition : radian.

Soit \zeta le cercle trigonométrique et M un point du cercle.
La mesure en radian de l’angle \widehat{IOM} est la longueur d’arc \widehat{IM} intercepté par cet angle.
Le symbole associé à cette mesure est rad ou rd.


Remarques :
• Dans ces conditions, 360° correspondent à 2\pi rad.
(E = I rad
• Par proportionnalité, on obtient que 30° correspondent à \frac{\pi}{6} rad ; 45° correspondent \frac{\pi}{4} rad ; 90° correspondent à \frac{\pi}{2} rad…
• II faut faire attention au paramétrage de sa calculatrice selon le mule degré ou radian choisi.

II. Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique

1.Sinus et cosinus

Définitions : Sinus et cosinus.

Pour tout nombre x, le cosinus et le sinus de x, notés cos(x) et sin(x), sont les coordonnées du point M
image de x sur le cercle trigonométrique. On écrit alors M_x(cos(x) ; sin(x)).

Exemples :
Le réel 0 est associé au point I sur le cercle trigonométrique.
On obtient donc cos(0)= 1 et sin(0) = 0.
Le réel \frac{\pi}{2} est associé au point J sur le cercle trigonométrique.
On obtient donc cos(\frac{\pi}{2})=0 et sin(\frac{\pi}{2})=1.

Propriétés : sinus et cosinus.

Pour tout nombre réel x :

cos^2x+sin^2x=1 \\-1\leq\, cos\,x\leq\, 1 \\-1\leq\, sin\,x\leq\, 1

Démonstration :
Soit M le point associé au réel x.
Le repère est orthonormé, on obtient donc la formule suivante :
OM^2=(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2=(cosx-0)^2+(sinx-0)^2=cos^2x+sin^2x
Or, le cercle trigonométrique est de rayon 1, donc 0M =1, donc OM²= 1, donccos^2x+sin^2x=1.

2. Valeurs remarquables

Propriété : valeurs remarquables.

Soit M un point du cercle trigonométrique, image d’un réel x. Alors :

tableau

Démonstrations :
On appelle H le pied de la hauteur issue de M dans le triangle OMI.
1. Calcul de cos(\frac{\pi}{3}) et de sin(\frac{\pi}{3})

Si x=\frac{1}{3} alors le triangle OMI est isocèle en O et son angle principal est égal à  \frac{\pi}{3}, c’est donc un triangle
équilatéral. Dans un triangle équilatéral, la médiane et la hauteur sont confondues, donc H est le milieu du segment [OI] de longueur 1, donc OH=\frac{1}{2} et donc cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}.

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle OHM rectangle en H, on obtient :

MH = sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.

2.Calcul de sin(\frac{\pi}{4})
Si x=\frac{\pi}{4} alors la droite (OM) est un axe de symétrie pour le triangle OIJ.

On obtient donc la relation cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4}).

En appliquant le théorème de Pythagore au sein du triangle OHM, on obtient :

cos^2(\frac{\pi}{4})+sin^2(\frac{\pi}{4})=1 donc  2cos^2(\frac{\pi}{4})=1  donc cos^2(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}.

Comme cos(\frac{\pi}{4})>0  alors cos(\frac{\pi}{4})=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} d’où  cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}.

3.Angles associés

Propriété : Angles associés.

Par différentes symétries, on obtient les formules suivantes.
tableau-1

III. Fonctions cosinus et sinus

Définition : fonction cosinus.

• La cosinus, notée cos, est la fonction définie sur \mathbb{R} par cos : x \mapsto   cos(x).

• Un tableau de valeurs de la fonction cosinus est :

tableau-2

• Un tableau de variations de la fonction cosinus sur ]-\pi;\pi] est: tableau-3 tableau-4

Définition : Fonction sinus.

• La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie sur \mathbb{R} par sin :x \mapsto   sin(x).

• Un tableau de valeurs de la fonction sinus est :

tableau-5

• Un tableau de variations de la fonction sinus sur ]-\pi;\pi] est :
tableau-6 tableau-7

Remarques :
• Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions trigonométriques.
• Les fonctions trigonométriques servent modéliser des phénomènes dits superposition de points-images

Propriété :

Soit un réel x et M_x (cos(x) ; sin(x)) un cercle trigonométrique, alors les points M_x(cos(x) ; sin(x))
et M_{x+2\pi}  (cos(x+2\pi);sin(x+2\pi)) sont confondus.

Démonstration :
Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2\pi donc, par enroulement de la droite des réels, les
M_x et M_{x+2\pi} sont confondus.

Propriété : périodicité.

Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période 2\pi dites « 2\pi-périodiques »
sin(x+ 2\pi)= sin(x) et cos(x+ 2\pi)= cos(x).

Propriétés : parité des fonctions cosinus et sinus.

Soit un réel x. Alors :

  • la fonction sinus est impaire. Sa courbe représentative est alors symétrique par rapport å l’origine
    du repère.
  • la fonction cosinus est paire. Sa courbe représentative est alors symétrique par rapport l’axe des
    ordonnées du repère.

Propriété :

Les courbes \varphi_{cos} et \varphi_{sin} sont « décalées »  de  \frac{\pi}{2}.

En effet, cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx   et sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx


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