Sommaire
Dans tout le chapitre on se place dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; l, J).
La droite numérique Peut également être appelée droite des réels.
I. Repérage sur le cercle trigonométrique
et de rayon r = 0I=1.
Le périmètre P du cercle trigonométrique est égal à :
.
• le sens direct (ou positif ou encore trigonométrique) est contraire au sens de rotation des aiguilles
d’ une montre ;
• le sens indirect (ou négatif) est le sens de rotation des aiguilles d’une montre.
Exemple :
Le panneau de signalisation ci-dessous sert à indiquer le sens de parcours à prendre lors
de l’abord d’un carrefour giratoire. Le sens utilisé est le sens trigonométrique.
cercle un axe vertical orienté vers le haut, gradué, d’origine le point I.On peut alors associer un réel x à ce point M, x étant l’abscisse d’un point de l’axe qui
Vient se superposer au M.
On dit alors que ce point M est le point-image de x sur le cercle trigonométrique, ce que l’on peut noter .
- Lorsqu’on enroule l’axe dans le sens direct, ce sont des points d’abscisses positives qui se superposent à M ; dans le sens indirect, ce sont des d’abscisses négatives.
- Tout point sur le cercle trigonométrique se repère par plusieurs nombres réels,
distants d’un multiple de(périmètre du cercle trigonométrique), selon le
nombre de tours complets de l’enroulement de l’axe.
Exemples :
- Les points de la droite des réels O ;
;
, et plus généralement de la forme
ont pour
image le même point à savoir I. - Les points
et plus généralement de la forme
ont pour image le même point, à savoir J.
Remarque :
- A chaque réel x on associe un point M sur le cercle trigonométrique.
- Ce réel x est lié à l’angle au centre et donc la longueur d’arc de cercle trigonométrique associée.
La mesure en radian de l’angle
Le symbole associé à cette mesure est rad ou rd.
Remarques :
• Dans ces conditions, 360° correspondent à rad.
(E = I rad
• Par proportionnalité, on obtient que 30° correspondent à rad ; 45° correspondent
rad ; 90° correspondent à
rad…
• II faut faire attention au paramétrage de sa calculatrice selon le mule degré ou radian choisi.
II. Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique
1.Sinus et cosinus
image de x sur le cercle trigonométrique. On écrit alors
Exemples :
Le réel 0 est associé au point I sur le cercle trigonométrique.
On obtient donc cos(0)= 1 et sin(0) = 0.
Le réel est associé au point J sur le cercle trigonométrique.
On obtient donc et
.
Démonstration :
Soit M le point associé au réel x.
Le repère est orthonormé, on obtient donc la formule suivante :
Or, le cercle trigonométrique est de rayon 1, donc 0M =1, donc OM²= 1, donc.
2. Valeurs remarquables
Démonstrations :
On appelle H le pied de la hauteur issue de M dans le triangle OMI.
1. Calcul de et de
Si alors le triangle OMI est isocèle en O et son angle principal est égal à
, c’est donc un triangle
équilatéral. Dans un triangle équilatéral, la médiane et la hauteur sont confondues, donc H est le milieu du segment [OI] de longueur 1, donc et donc
.
En appliquant le théorème de Pythagore au triangle OHM rectangle en H, on obtient :
.
2.Calcul de
Si alors la droite (OM) est un axe de symétrie pour le triangle OIJ.
On obtient donc la relation .
En appliquant le théorème de Pythagore au sein du triangle OHM, on obtient :
donc
donc
.
Comme alors
d’où
.
3.Angles associés
III. Fonctions cosinus et sinus
• La cosinus, notée cos, est la fonction définie sur par
.
• Un tableau de valeurs de la fonction cosinus est :
Remarques :
• Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions trigonométriques.
• Les fonctions trigonométriques servent modéliser des phénomènes dits superposition de points-images
et
Démonstration :
Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à donc, par enroulement de la droite des réels, les
et
sont confondus.
- la fonction sinus est impaire. Sa courbe représentative est alors symétrique par rapport å l’origine
du repère. - la fonction cosinus est paire. Sa courbe représentative est alors symétrique par rapport l’axe des
ordonnées du repère.
Les courbes et
sont « décalées » de
.
En effet, et
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