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Vecteurs, droites et plans : cours en 1ère S en PDF.

cours premiere
Cours sur les vecteurs, les droites et les plans en première s avec les définitions et les propriétés à connaître en 1ère S.

I. Colinéarité de deux vecteurs

Définition :
Deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que \vec{u}=k\vec{v}.
Propriété :

On considère \vec{u}(x;y) et \vec{v}(x',y') deux vecteurs du plan.

Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} s sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Autrement dit, ils sont colinéaires si, et seulement si, xy'-x'y=0.

Propriétés :
Trois points du plan A,B et C sont alignés si, et seulement si, \vec{AB} et \vec{AC} sont colinéaires.

II.Equation cartésienne d’une droite

Définition:

Un vecteur \vec{u} non nul est un vecteur directeur de la droite (AB) si \vec{u} et \vec{AB} sont colinéaires.

Autrement dit, un vecteur non nul est appelé vecteur directeur d’une droite lorsqu’il a la même direction que cette droite.

Propriété :
Deux droites du plan sont parallèles si, et seulement si,  un vecteur directeur de l’une est colinéaire à un vecteur directeur de l’autre.

vecteur directeur droite

Propriété :

Soient a et b deux nombres réels.

Le vecteur \vec{u}(1,a) est un vecteur directeur de la droite d’équation y=ax+b.

vecteur directeur droite équation

Propriété :
L’ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 avec (a;b)\neq\,(0;0) est une droite de vecteur directeur \vec{u}(-b,a).
Définition :
Une équation d’une droite d de la forme ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite d.

III.Décomposition d’un vecteur

Propriété :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs du plan non nuls  et non colinéaires .Tout vecteur \vec{w} du plan s’écrit de façon unique sous la forme \vec{w}=x\vec{u}+y\vec{v} où x et y sont deux nombres réels.

Propriété :

Soient A,B et C trois points non alignés du plan.Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x;y)  tels que \vec{AM}=x\vec{AB}+y\vec{AC}.

Le triplet (A,\vec{AB},\vec{AC}) définit un repère du plan.

repère plan

IV.Norme d’un vecteur

Définition :

Soient A et B deux points du plan.

La norme du vecteur \vec{AB}, notée ||\,\vec{AB}\,||,  est définie par \,||\,\vec{AB}\,||=AB.

Soit \vec{u} un vecteur du plan et deux points A et B tels que \vec{u}=\vec{AB}.

La norme de \vec{u} est alors définie par ||\,\vec{u}\,||=AB.

Propriété :

Soit \vec{u}(x;y) dans un repère orthonormé alors ||\,\vec{u}\,||=\,\sqrt{x^2+y^2}.

Pour tout réel k, ||k\,\vec{u}|\|=\,|k|\times  ||\,\vec{u}\,||.

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