Vecteurs, droites et plans : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
I. Colinéarité de deux vecteurs
On considère et
deux vecteurs du plan.
Les vecteurs et
s sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.
Autrement dit, ils sont colinéaires si, et seulement si, .
II.Equation cartésienne d’une droite
Un vecteur non nul est un vecteur directeur de la droite (AB) si
et
sont colinéaires.
Autrement dit, un vecteur non nul est appelé vecteur directeur d’une droite lorsqu’il a la même direction que cette droite.
Soient a et b deux nombres réels.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d’équation y=ax+b.
III.Décomposition d’un vecteur
Soient et
deux vecteurs du plan non nuls et non colinéaires .Tout vecteur
du plan s’écrit de façon unique sous la forme
où x et y sont deux nombres réels.
Soient A,B et C trois points non alignés du plan.Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x;y) tels que .
Le triplet définit un repère du plan.
IV.Norme d’un vecteur
Soient A et B deux points du plan.
La norme du vecteur , notée
, est définie par
.
Soit un vecteur du plan et deux points A et B tels que
.
La norme de est alors définie par
.
Soit dans un repère orthonormé alors
.
Pour tout réel k, .
Autre version de cette leçon
I. Vecteurs directeurs et équation cartésienne
Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère orthonormé .
1.Vecteur directeur d’une droite.
On appelle vecteur directeur d’une droite (d) tout représentant du vecteur où
A et B sont deux points quelconques et distincts de la droite (d).
Exemple :
Dans l’image ci-dessous, les vecteurs ,
et
sont des vecteurs
directeurs de la droite (d).
- On calcule les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.
- La droite (BC) et sa parallèle ont les mêmes vecteurs directeurs, il suffi d’en prendre un représentant d’origine A.
Exemple :
Soient trois points A(1;5), B(-3;2) et C(2;-1) dans un repère orthonormé.
- Déterminer un vecteur directeur de la droite (BC).
- Détailler la construction de la parallèle à (BC) passant par A.
2. Equation cartésienne de droite.
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l’ensemble des points
d’une droite vérifient une relation où a, b et c sont des nombres réels.
Démonstration :
Soient et
deux points d’une droite (d).
Alors, pour tout point appartenant à (d), nous avons :
les vecteurs et
sont colinéaires.
On a donc .
C’est-à-dire .
donc .
En posant ;
et
,
on a donc l’équation de la droite (d) qui est de la forme .
La relation s’appelle une équation cartésienne de la droite (d).
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite (d) d’équation cartésienne
.
Exemple :
Si la droite (d) a pour équation cartésienne , alors le vecteur
est un vecteur directeur de cette droite.
II. Positions relatives de droites
1.Droites parallèles ou sécantes
Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et
où
sont des nombres réels.
Les droites (d) et (d’) sont parallèles si, et seulement si, .
Preuve :
Des vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, et
.
Les droites (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, les vecteurs et
ne sont pas colinéaires.
Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est non nul.
Soit, .
2. Droites sécantes et systèmes d’équation
Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées de leur point d’intersection
sont solution du système :
3. Droites perpendiculaires
Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et
où
sont des nombres réels.
Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, et
.
Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si, et seulement si, soit
.
Preuve :
Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, et
.
Les droites sont perpendiculaires si, et seulement si, ces deux vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Ce qui revient à dire que le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul, soit :
Ce qui équivaut à :
soit
.
I. Positions relatives de droites et plans en géométrie
toutes les deux), soit non coplanaires (c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan les contenant
toutes les deux).
Si elles sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes, soit parallèles (strictement parallèles
ou confondues).
II. Parallélisme dans l’espace
Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux.
d’un plan P’ alors les plans P et P’ sont parallèles.
d’intersection sont parallèles entre elles.
Si une droite d de P est strictement parallèle à une droite d’ de P’ alors la droite ∆
intersection de P et P’ est parallèle à d et à d’.
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