Vecteurs, droites et plans : cours en 1ère S en PDF.

Cours sur les vecteurs, les droites et les plans en première s avec les définitions et les propriétés à connaître en 1ère S.

Sommaire

I.Colinéarité de deux vecteurs

Définition :

Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$ .

Propriété :

On considère $\overrightarrow{u}\binom{x}{y}$ et $\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}$ deux vecteurs du plan.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ s sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Autrement dit, ils sont colinéaires si, et seulement si, $xy'-x'y=0$ .

Propriétés :

Trois points du plan A,B et C sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

II.Equation cartésienne d’une droite

Définition:

Un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul est un vecteur directeur de la droite (AB) si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Autrement dit, un vecteur non nul est appelé vecteur directeur d’une droite lorsqu’il a la même direction que cette droite.

Propriété :

Deux droites du plan sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est colinéaire à un vecteur directeur de l’autre.

Propriété :

Soient a et b deux nombres réels.

Le vecteur $\overrightarrow{u}\binom{1}{a}$ est un vecteur directeur de la droite d’équation y=ax+b.

Propriété :

L’ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 avec $(a;b)\neq (0;0)$ est une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}$ .

Définition :

Une équation d’une droite d de la forme ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite d.

III.Décomposition d’un vecteur

Propriété :

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan non nuls et non colinéaires .

Tout vecteur $\overrightarrow{w}$ du plan s’écrit de façon unique sous la forme $\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}$ où x et y sont deux nombres réels.

Propriété :

Soient A,B et C trois points non alignés du plan.

Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x;y) tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ .

Le triplet $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ définit un repère du plan.

IV.Norme d’un vecteur

Définition :

Soient A et B deux points du plan.

La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ , notée $\left \| \overrightarrow{AB}\right \|$ , est définie par $\left \| \overrightarrow{AB}\right \|=AB$ .

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan et deux points A et B tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ .

La norme de $\overrightarrow{u}$ est alors définie par $\left \| \overrightarrow{u}\right \|=AB$ .

Propriété :

Soit $\overrightarrow{u}\binom{x}{y}$ dans un repère orthonormé alors $\left \| \overrightarrow{u}\right \|= \sqrt{x^2+y^2}$ .

Pour tout réel k, $\left \|k \overrightarrow{u}\right \|= |k |\times \left \| \overrightarrow{u}\right \|$ .

Partagez7

Tweetez

Enregistrer

7 Partages

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «vecteurs, droites et plans : cours en 1ère S en PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Les dernières fiches mises à jour

Les fiches d'exercices les plus consultées

Problèmes et calculs en sixième [chapitre 3/ 91113 vus].
Les nombres décimaux en sixième [chapitre 1/ 72788 vus].
Les homothéties en troisième [chapitre 7/ 56957 vus].
Les nombres relatifs en cinquième [chapitre 3/ 55769 vus].
Aires et périmètres en sixième [chapitre 11/ 52941 vus].
Les nombres relatifs en cinquième [chapitre 3/ 51244 vus].
Les nombres relatifs en cinquième [chapitre 3/ 50415 vus].
Les nombres relatifs en cinquième [chapitre 3/ 50414 vus].
Aires et périmètres en cinquième [chapitre 6/ 48853 vus].
Le triangle en cinquième [chapitre 4/ 48789 vus].

D'autres fiches similaires