Vecteurs, droites et plans : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de MathématiquesPremière • lycée

Vecteurs, droites et plans

⏱️Temps de lecture : 7 min

🎯Difficulté : Avancé

📚Cycle terminal

📋Prérequis : Programme 2nde maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les vecteurs, les droites et les plans avec un cours de maths en 1ère. Vous devrez connaître sa définition et savoir calculer des coordonnées et déterminer sa norme dans un repère orthogonal ou orthonormé du plan. L’élève devra pouvoir démontrer si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux, puis, déterminer l’équation réduite ou cartésienne d’une droite.

I. Colinéarité de deux vecteurs

Définition :

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que $\vec{u}=k\vec{v}$ .

Propriété :

On considère $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x',y')$ deux vecteurs du plan.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Autrement dit, ils sont colinéaires si, et seulement si, .

Propriétés :

Trois points du plan A,B et C sont alignés si, et seulement si, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

II.Equation cartésienne d’une droite

Définition:

Un vecteur $\vec{u}$ non nul est un vecteur directeur de la droite (AB) si $\vec{u}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires.

Autrement dit, un vecteur non nul est appelé vecteur directeur d’une droite lorsqu’il a la même direction que cette droite.

Propriété :

Deux droites du plan sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est colinéaire à un vecteur directeur de l’autre.

Propriété :

Soient a et b deux nombres réels.

Le vecteur $\vec{u}(1,a)$ est un vecteur directeur de la droite d’équation y=ax+b.

Propriété :

L’ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 avec $(a;b)\neq\,(0;0)$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}(-b,a)$ .

Définition :

Une équation d’une droite d de la forme ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite d.

III.Décomposition d’un vecteur

Propriété :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan non nuls et non colinéaires .Tout vecteur $\vec{w}$ du plan s’écrit de façon unique sous la forme $\vec{w}=x\vec{u}+y\vec{v}$ où x et y sont deux nombres réels.

Propriété :

Soient A,B et C trois points non alignés du plan.Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x;y) tels que $\vec{AM}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$ .

Le triplet $(A,\vec{AB},\vec{AC})$ définit un repère du plan.

IV.Norme d’un vecteur

Définition :

Soient A et B deux points du plan.

La norme du vecteur $\vec{AB}$ , notée $||\,\vec{AB}\,||$ , est définie par $\,||\,\vec{AB}\,||=AB$ .

Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et deux points A et B tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ .

La norme de $\vec{u}$ est alors définie par $||\,\vec{u}\,||=AB$ .

Propriété :

Soit $\vec{u}(x;y)$ dans un repère orthonormé alors $||\,\vec{u}\,||=\,\sqrt{x^2+y^2}$ .

Pour tout réel k, $||k\,\vec{u}|\|=\,|k|\times ||\,\vec{u}\,||$ .

Autre version de cette leçon

I. Vecteurs directeurs et équation cartésienne

Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

1.Vecteur directeur d’une droite.

Définition :

On appelle vecteur directeur d’une droite (d) tout représentant du vecteur $\vec{AB}$ où

A et B sont deux points quelconques et distincts de la droite (d).

Exemple :

Dans l’image ci-dessous, les vecteurs $\vec{AB}(2;1)$ , $\vec{u}(-2;-1)$ et $\vec{v}(4;2)$ sont des vecteurs

directeurs de la droite (d).

Application et méthode :

On calcule les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.
La droite (BC) et sa parallèle ont les mêmes vecteurs directeurs, il suffi d’en prendre un représentant d’origine A.

Exemple :

Soient trois points A(1;5), B(-3;2) et C(2;-1) dans un repère orthonormé.

Déterminer un vecteur directeur de la droite (BC).
Détailler la construction de la parallèle à (BC) passant par A.

2. Equation cartésienne de droite.

Théorème :

Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l’ensemble des points M(x;y)

d’une droite vérifient une relation où a, b et c sont des nombres réels.

Démonstration :

Soient et deux points d’une droite (d).

Alors, pour tout point appartenant à (d), nous avons :

les vecteurs $\vec{PM}(x-x_P;y-y_P)$ et $\vec{PQ}(x_Q-x_P;y_Q-y_P)$ sont colinéaires.

On a donc $det(\vec{PM};\vec{PQ})=0$ .

C’est-à-dire .

donc .

En posant ; et ,

on a donc l’équation de la droite (d) qui est de la forme .

Définition :

La relation s’appelle une équation cartésienne de la droite (d).

Propriété :

Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite (d) d’équation cartésienne .

Exemple :

Si la droite (d) a pour équation cartésienne , alors le vecteur $\vec{u}(-4;5)$

est un vecteur directeur de cette droite.

II. Positions relatives de droites

1.Droites parallèles ou sécantes

Théorème :

Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et où sont des nombres réels.

Les droites (d) et (d’) sont parallèles si, et seulement si, $ab'-a'b\neq0$ .

Preuve :

Des vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, $\vec{u}(-b;a)$ et $\vec{v}(-b';a')$ .

Les droites (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, si le déterminant de ces deux vecteurs est non nul.

Soit, $-ba'-(a(-b'))=-ba'+ab'=ab'-a'b\neq0$ .

2. Droites sécantes et systèmes d’équation

Théorème :

Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées (x;y) de leur point d’intersection

sont solution du système :

3. Droites perpendiculaires

Théorème :

Soient deux droites (d) et (d’) d’équations cartésiennes respectives et où sont des nombres réels.

Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, $\vec{u}(-b;a)$ et $\vec{v}(-b';a')$ .

Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ soit .

Preuve :

Les vecteurs directeurs des droites (d) et (d’) sont, respectivement, $\vec{u}(-b;a)$ et $\vec{v}(-b';a')$ .

Les droites sont perpendiculaires si, et seulement si, ces deux vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Ce qui revient à dire que le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul, soit :

$\vec{u}.\vec{v}=0$

Ce qui équivaut à :

$-b\times \,(-b')+a\times \,a'=0$ soit .

I. Positions relatives de droites et plans en géométrie

Propriété : positions relatives de deux droites

Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (c’est-à-dire qu’il existe un plan les contenant
toutes les deux), soit non coplanaires (c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan les contenant
toutes les deux).
Si elles sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes, soit parallèles (strictement parallèles
ou confondues).

Propriété : Positions relatives de deux plans.

Deux plans de l’espace sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles.

Propriété : Positions relatives d’une droite et d’un plan.

Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.

II. Parallélisme dans l’espace

Propriété :

Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux.

Propriété :

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Propriété :

Si un plan P contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes
d’un plan P’ alors les plans P et P’ sont parallèles.

Propriété :

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites
d’intersection sont parallèles entre elles.

Propriété : Théorème du toit.

Soit P et P’ deux plans distincts, sécants selon une droite ∆.
Si une droite d de P est strictement parallèle à une droite d’ de P’ alors la droite ∆
intersection de P et P’ est parallèle à d et à d’.

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