Vecteurs, droites et plans : cours en 1ère S en PDF.

Sommaire

1 I.Colinéarité de deux vecteurs
2 II.Equation cartésienne d’une droite
3 III.Décomposition d’un vecteur
4 IV.Norme d’un vecteur

Cours sur les vecteurs, les droites et les plans en première s avec les définitions et les propriétés à connaître en 1ère S.

I.Colinéarité de deux vecteurs

Définition :

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que $\vec{u}=k\vec{v}$ .

Propriété :

On considère $\vec{u}\binom\,{x}{y}$ et $\vec{v}\binom\,{x'}{y'}$ deux vecteurs du plan.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Autrement dit, ils sont colinéaires si, et seulement si, .

Propriétés :

Trois points du plan A,B et C sont alignés si, et seulement si, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

II.Equation cartésienne d’une droite

Définition:

Un vecteur $\vec{u}$ non nul est un vecteur directeur de la droite (AB) si $\vec{u}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires.

Autrement dit, un vecteur non nul est appelé vecteur directeur d’une droite lorsqu’il a la même direction que cette droite.

Propriété :

Deux droites du plan sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est colinéaire à un vecteur directeur de l’autre.

Propriété :

Soient a et b deux nombres réels.

Le vecteur $\vec{u}\binom\,{1}{a}$ est un vecteur directeur de la droite d’équation y=ax+b.

Propriété :

L’ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 avec $(a;b)\neq (0;0)$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}\binom\,{-b}{a}$ .

Définition :

Une équation d’une droite d de la forme ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite d.

III.Décomposition d’un vecteur

Propriété :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan non nuls et non colinéaires .

Tout vecteur $\vec{w}$ du plan s’écrit de façon unique sous la forme $\vec{w}=x\vec{u}+y\vec{v}$ où x et y sont deux nombres réels.

Propriété :

Soient A,B et C trois points non alignés du plan.

Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x;y) tels que $\vec{AM}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$ .

Le triplet $(A,\vec{AB},\vec{AC})$ définit un repère du plan.

IV.Norme d’un vecteur

Définition :

Soient A et B deux points du plan.

La norme du vecteur $\vec{AB}$ , notée $\| \vec{AB} \|$ , est définie par $\| \vec{AB} \|=AB$ .

Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et deux points A et B tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ .

La norme de $\vec{u}$ est alors définie par $\| \vec{u} \|=AB$ .

Propriété :

Soit $\vec{u}\binom\,{x}{y}$ dans un repère orthonormé alors $\| \vec{u} \|= \sqrt{x^2+y^2}$ .

Pour tout réel k, $\|k \vec{u} \|= |k |\times \| \vec{u} \|$ .

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