cours première

Mise à jour le 29 décembre 2019 | cours 1ère  

Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur le produit scalaire dans le plan en 1ère S avec les définitions et propriétés du produit scalaire ainsi que le projeté orthogonal.

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

Le produit scalaire de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, est défini par :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\left \| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v }\right \|^2-\left \| \overrightarrow{u} \right \|^2-\left \| \overrightarrow{v} \right \|^2).

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.

Si \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} ou \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}, alors \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} est également noté \overrightarrow{u}^2, appelé carré scalaire de \overrightarrow{u}; Nous avons \left \| \overrightarrow{u} \right \|^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}.

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

On dit que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

On dit que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\pm \frac{\pi}{2}[2\pi].

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soit \overrightarrow{u}\binom{x}{y} et \overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}.

Le produit scalaire de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}  est donné par la formule suivante :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'.

III.propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

  • Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : \overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}.
  • Pour deux réels k et k’, (k\overrightarrow{u}).(k'\overrightarrow{v})=kk'\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}.
  • En particuliers, (-\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.(-\overrightarrow{v})=-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}.

Propriétés : identités remarquables.

  • \left \| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v }\right \|^2=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2=\left \| \overrightarrow{u }\right \|^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left \| \overrightarrow{v}\right \|^2.
  • \left \| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v }\right \|^2=(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2=\left \| \overrightarrow{u }\right \|^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left \| \overrightarrow{v}\right \|^2.
  • (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=\left \| \overrightarrow{u} \right \|^2-\left \| \overrightarrow{v }\right \|^2.

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}.

théorème médiane

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et trois points distincts A,B et C du plan.

  • \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left \| \overrightarrow{u} \right \|\times \left \| \overrightarrow{v} \right \|\times cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}).
  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= AB \times AC \times cos(\widehat{BAC}).

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires, alors :

  • \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left \| \overrightarrow{u} \right \|\times \left \| \overrightarrow{v} \right \| si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ont le même sens.
  • \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left \| \overrightarrow{u} \right \|\times \left \| \overrightarrow{v} \right \| si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ont des sens contraires.

 

 

 


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Les dernières fiches mises à jour

Les fiches d'exercices les plus consultées


D'autres fiches similaires
Maths PDF

GRATUIT
VOIR
Monter