Sommaire
I.Définition du produit scalaire et orthogonalité
On considère deux vecteurs du plan et
.
Le produit scalaire de et
, noté
, est défini par :
.
Remarque :
Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.
Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que .
Si ou
, alors
.
est également noté
, appelé carré scalaire de
;
Nous avons .
On considère deux vecteurs non nuls du plan et
.
On dit que deux vecteurs et
sont orthogonaux si, et seulement si,
.
Remarque :
Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.
On considère deux vecteurs non nuls du plan et
.On dit que deux vecteurs
et
sont orthogonaux si, et seulement si,
.
II.Produit scalaire et coordonnées
.
III. Propriétés algébriques du produit scalaire
- Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition :
.
- Pour deux réels k et k’,
.
- En particuliers,
.
.
.
.
Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].
Pour tout point M du plan, .
IV.Autres expressions du produit scalaire
On considère deux vecteurs non nuls du plan et
et trois points distincts A,B et C du plan.
.
.
Si deux vecteurs du plan et
sont colinéaires, alors :
si
et
ont le même sens.
si
et
ont des sens contraires.
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