Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur le produit scalaire dans le plan en 1ère S avec les définitions et propriétés du produit scalaire ainsi que le projeté orthogonal.

Sommaire

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ .

Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ , est défini par :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\left \| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v }\right \|^2-\left \| \overrightarrow{u} \right \|^2-\left \| \overrightarrow{v} \right \|^2)$ .

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$ .

Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ , alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ .

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}$ est également noté $\overrightarrow{u}^2$ , appelé carré scalaire de $\overrightarrow{u}$ ; Nous avons $\left \| \overrightarrow{u} \right \|^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}$ .

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ .

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\pm \frac{\pi}{2}[2\pi]$ .

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soit $\overrightarrow{u}\binom{x}{y}$ et $\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}$ .

Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est donné par la formule suivante :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$ .

III.propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ .
Pour deux réels k et k’, $(k\overrightarrow{u}).(k'\overrightarrow{v})=kk'\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ .
En particuliers, $(-\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.(-\overrightarrow{v})=-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ .

Propriétés : identités remarquables.

$\left \| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v }\right \|^2=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2=\left \| \overrightarrow{u }\right \|^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left \| \overrightarrow{v}\right \|^2$ .
$\left \| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v }\right \|^2=(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2=\left \| \overrightarrow{u }\right \|^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left \| \overrightarrow{v}\right \|^2$ .
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=\left \| \overrightarrow{u} \right \|^2-\left \| \overrightarrow{v }\right \|^2$ .

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ .

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et trois points distincts A,B et C du plan.

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left \| \overrightarrow{u} \right \|\times \left \| \overrightarrow{v} \right \|\times cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ .
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= AB \times AC \times cos(\widehat{BAC})$ .

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, alors :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left \| \overrightarrow{u} \right \|\times \left \| \overrightarrow{v} \right \|$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont le même sens.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left \| \overrightarrow{u} \right \|\times \left \| \overrightarrow{v} \right \|$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont des sens contraires.

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