Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère en PDF.

Sommaire

1 I.Définition du produit scalaire et orthogonalité
2 II.Produit scalaire et coordonnées
3 III. Propriétés algébriques du produit scalaire
4 IV.Autres expressions du produit scalaire
5 Avantages de l’apprentissage en ligne

Cours sur le produit scalaire dans le plan en 1ère avec les définitions et propriétés du produit scalaire ainsi que le projeté orthogonal.

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u}.\vec{v}$ , est défini par :

$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(||\,\vec{u}+\vec{v\,}||^2-||\,\vec{u}\,||^2-||\,\vec{v}\,||^2)$ .

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ .

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ , alors $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

$\vec{u}.\vec{u}$ est également noté $\vec{u}^2$ , appelé carré scalaire de $\vec{u}$ ;

Nous avons $||\,\vec{u}\,||^2=\vec{u}.\vec{u}$ .

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $(\vec{u};\vec{v})=\pm\,\frac{\pi}{2}[2\pi]$ .

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.Produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soient $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ .Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par la formule suivante :

$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$ .

III. Propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ .
Pour deux réels k et k’, $(k\vec{u}).(k'\vec{v})=kk'\vec{u}.\vec{v}$ .
En particuliers, $(-\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(-\vec{v})=-\vec{u}.\vec{v}$ .

Propriétés : identités remarquables.

$||\,\vec{u}+\vec{v\,}\,||^2=(\vec{u}+\vec{v})^2=||\vec{u\,}||^2+2\vec{u}.\vec{v}+||\vec{v}||^2$ .
$||\,\vec{u}-\vec{v\,}|^2=(\vec{u}-\vec{v})^2=||\vec{u\,}||^2-2\vec{u}.\vec{v}+||\vec{v}||^2$ .
$(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=||\vec{u}||^2-||\vec{v\,}||^2$ .

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ .

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points distincts A,B et C du plan.

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \,cos(\vec{u};\vec{v})$ .
$\vec{AB}.\vec{AC}=\,AB\,\times \,AC\,\times \,cos(\widehat{BAC})$ .

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors :

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont le même sens.
$\vec{u}.\vec{v}=-||\vec{u}||\times ||\vec{v}||$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont des sens contraires.

Avantages de l’apprentissage en ligne

De nombreuses personnes contestent encore l’efficacité de l’apprentissage en ligne. L’apprentissage en ligne présente des avantages et des inconvénients, tout comme les salles de classe traditionnelles. De plus, tous les élèves ne tireront pas profit des cours en ligne, car chacun n’apprend pas de la même manière. Cependant, beaucoup d’enfants ont découvert que l’enseignement en ligne est crucial pour leurs performances au lycée.

Les mathématiques sont l’un des sujets fondamentaux les plus difficiles à aborder au lycée pour de nombreux élèves. Malgré cela, c’est aussi l’un des cours les plus bénéfiques et les plus adaptables auxquels les élèves peuvent s’inscrire. C’est pourquoi il est crucial de suivre des cours de mathématiques au lycée. Les élèves qui sont forts en mathématiques, ainsi que ceux qui ont des difficultés avec cette matière, peuvent bénéficier de ce cours en ligne.

Les élèves peuvent apprendre à leur propre rythme lorsqu’ils suivent un cours de mathématiques en ligne, ce qui constitue l’un de ses principaux avantages. Avec les classes numériques, les élèves peuvent prendre le temps dont ils ont besoin pour terminer leurs études, contrairement aux classes traditionnelles en personne qui se déplacent à une vitesse prescrite pour s’adapter à l’élève moyen.

Grâce à l’auto-apprentissage, les élèves peuvent assimiler rapidement les informations et se concentrer davantage sur les sujets qui les intéressent ou qu’ils connaissent déjà bien. Cela réduit l’ennui, l’anxiété ou le mécontentement que les élèves peuvent ressentir en classe.

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Télécharger nos applications gratuites Maths PDf avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres articles similaires à produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère en PDF

Vecteurs, droites et plans : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF.
80
Cours sur les vecteurs, les droites et les plans en première avec les définitions et les propriétés à connaître en 1ère. I. Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls et sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que . Propriété :…
Suites numériques : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF
71
Cours sur les suites numériques en 1ère avec définitions et propriétés des suites ainsi que les suites arithmétiques et géométriques en première. I.Mode de génération d'une suite numérique Définition : suite numérique. Une suite numérique est une fonction de dans .L'image de l'entier n par la suite est noté .…
Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF
66
Cours sur la dérivée d'une fonction en première avec son signe et les variations d'une fonction en 1ère ainsi que les propriétés. On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de et sa courbe représentative. I.Nombre dérivé et tangente à une courbe Définition : accroissement…

Le nombre d'exercices par niveau :

Il y a 267 exercices en CM1.
Il y a 305 exercices en CM2.
Il y a 541 exercices en sixième et 14 cours en 6ème.
Il y a 437 exercices en cinquième et 11 cours en 5ème.
Il y a 451 exercices en quatrième et 11 cours en 4ème.
Il y a 639 exercices en troisième et 11 cours en 3ème.
Il y a 443 exercices en seconde et 15 cours en 2de.
Il y a 384 exercices en première et 8 cours en 1ère.
Il y a 469 exercices en terminale et 8 cours en terminale.

Les dernières fiches de maths mises à jour

Les derniers cours et exercices mis à jour ou ajoutés sur le site similaires à produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère en PDF .

Maths PDF c'est 8 490 755 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 3 936 exercices.