cours première

Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur le produit scalaire dans le plan en 1ère S avec les définitions et propriétés du produit scalaire ainsi que le projeté orthogonal.

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan \vec{u} et \vec{v}.

Le produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u}.\vec{v}, est défini par :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}( \| \vec{u}+\vec{v } \|^2- \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v}  \|^2).

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}.

Si \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0}, alors \vec{u}.\vec{v}=0.

\vec{u}.\vec{u} est également noté \vec{u}^2, appelé carré scalaire de \vec{u}; Nous avons  \| \vec{u}  \|^2=\vec{u}.\vec{u}.

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \vec{u} et \vec{v}.

On dit que deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u}.\vec{v}=0.

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \vec{u} et \vec{v}.

On dit que deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, (\vec{u};\vec{v})=\pm \frac{\pi}{2}[2\pi].

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soit \vec{u}\binom\,{x}{y} et \vec{v}\binom\,{x'}{y'}.

Le produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}  est donné par la formule suivante :

\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'.

III.propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

  • Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : \vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}.
  • Pour deux réels k et k’, (k\vec{u}).(k'\vec{v})=kk'\vec{u}.\vec{v}.
  • En particuliers, (-\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(-\vec{v})=-\vec{u}.\vec{v}.

Propriétés : identités remarquables.

  •  \| \vec{u}+\vec{v } \|^2=(\vec{u}+\vec{v})^2= \| \vec{u } \|^2+2\vec{u}.\vec{v}+ \| \vec{v} \|^2.
  •  \| \vec{u}-\vec{v } \|^2=(\vec{u}-\vec{v})^2= \| \vec{u } \|^2-2\vec{u}.\vec{v}+ \| \vec{v} \|^2.
  • (\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v } \|^2.

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}.

théorème médiane

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \vec{u} et \vec{v} et trois points distincts A,B et C du plan.

  • \vec{u}.\vec{v}= \| \vec{u}  \|\times    \| \vec{v}  \|\times   cos(\vec{u};\vec{v}).
  • \vec{AB}.\vec{AC}= AB \times   AC \times   cos(\widehat{BAC}).

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires, alors :

  • \vec{u}.\vec{v}= \| \vec{u}  \|\times    \| \vec{v}  \| si \vec{u} et \vec{v} ont le même sens.
  • \vec{u}.\vec{v}=- \| \vec{u}  \|\times    \| \vec{v}  \| si \vec{u} et \vec{v} ont des sens contraires.

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Télécharger nos applications gratuites Maths PDf avec tous les cours,exercices corrigés Application Maths PDF sur Google Play Store. Application Maths PDF sur Apple Store.

.

D'autres cours de maths en 1ère en PDF :

  1. La dérivée d’une fonction numérique
  2. Le second degré et les équations/inéquations
  3. Les suites numériques
  4. Les vecteurs, les droites du plan
  5. Le produit scalaire dans le plan
  6. Probabilités conditionnelles et indépendance
  7. Variables aléatoires réelles
  8. Fonctions trigonométriques



Les fiches d'exercices les plus consultées

Des cours et exercices corrigés en 1ère en vidéos

D'autres fiches similaires

Corrigé des exercices sur YouTube

Inscription gratuite à Maths PDF.  Maths PDF c'est 3 361 156 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 3 430 exercices.

Maths PDF

GRATUIT
VOIR