Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de MathématiquesPremière • lycée

Produit scalaire dans le plan

⏱️Temps de lecture : 4 min

🎯Difficulté : Avancé

📚Cycle terminal

📋Prérequis : Programme 2nde maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Le produit scalaire dans le plan à travers un cours de maths en 1ère avec les définitions et propriétés ainsi que le projeté orthogonal. L’élève devra connaître les propriétés de linéarité du produit scalaire ainsi que sa symétrie. Déterminer si des vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux, puis, déterminer des équations de droits à l’aide du produit scalaire en première.

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u}.\vec{v}$ , est défini par :

$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(||\,\vec{u}+\vec{v\,}||^2-||\,\vec{u}\,||^2-||\,\vec{v}\,||^2)$ .

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ .

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ , alors $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

$\vec{u}.\vec{u}$ est également noté $\vec{u}^2$ , appelé carré scalaire de $\vec{u}$ ;

Nous avons $||\,\vec{u}\,||^2=\vec{u}.\vec{u}$ .

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $(\vec{u};\vec{v})=\pm\,\frac{\pi}{2}[2\pi]$ .

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.Produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soient $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ .Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par la formule suivante :

$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$ .

III. Propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ .
Pour deux réels k et k’, $(k\vec{u}).(k'\vec{v})=kk'\vec{u}.\vec{v}$ .
En particuliers, $(-\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(-\vec{v})=-\vec{u}.\vec{v}$ .

Propriétés : identités remarquables.

$||\,\vec{u}+\vec{v\,}\,||^2=(\vec{u}+\vec{v})^2=||\vec{u\,}||^2+2\vec{u}.\vec{v}+||\vec{v}||^2$ .
$||\,\vec{u}-\vec{v\,}|^2=(\vec{u}-\vec{v})^2=||\vec{u\,}||^2-2\vec{u}.\vec{v}+||\vec{v}||^2$ .
$(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=||\vec{u}||^2-||\vec{v\,}||^2$ .

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ .

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points distincts A,B et C du plan.

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \,cos(\vec{u};\vec{v})$ .
$\vec{AB}.\vec{AC}=\,AB\,\times \,AC\,\times \,cos(\widehat{BAC})$ .

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors :

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont le même sens.
$\vec{u}.\vec{v}=-||\vec{u}||\times ||\vec{v}||$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont des sens contraires.

Autre version de cette leçon

I. Norme d’un vecteur

Propriétés :

Soit $\vec{u}$ un vecteur de coordonnées ( ; ) dans une base orthonormée du plan.

a. On appelle norme du vecteur $\vec{u}$ , notée $||\vec{u}||$ , le nombre $||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$ .

b. Si est un nombre réel, alors $||k\vec{u}||=\,|\,k\,\,|\times ||\vec{u}||$ .

II. Critère d’orthogonalité de deux vecteurs

Définition :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de représentants respectifs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ .
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

On note dans ce cas $\vec{u}\perp\,\vec{v}$ .

Remarque :

La définition ne dépend pas des représentants des vecteurs.
En effet, Si $\vec{AB}\,=\vec{A'B'}$ et $\vec{CD}\,=\vec{C'D'}$ et que $(AB)\perp\,(CD)$ alors $(A'B')\perp\,(C'D')$ .

Propriété :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $||\vec{u}+\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2$ (1).

Remarques :

L’égalité (1) provient du théorème de Pythagore.

L’égalité (1) est encore vérifiée si un des deux vecteurs est nul.
Ainsi, on considère que le vecteur nul $\vec{0}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux ou encore que $\vec{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Propriété :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X’ ; Y’)
dans une base orthonormée du plan.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si .

Démonstration :

D’après la propriété précédente, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\,\|\,\vec{u}+\vec{v}\,\,\|^2=\,\|\,\vec{u}\,\,\|^2+\,\|\,\vec{v}\,\,\|^2$ .

Or les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}(X+X';Y+Y')$ .

L’égalité précédente nous donne :

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\,\|\,\vec{u}+\vec{v}\,\,\|^2=\,\|\,\vec{u}\,\,\|^2+\,\|\,\vec{v}\,\,\|^2$ .

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si,

soit

d’où

Soit

et donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si .

III. Définitions du produit scalaire

Définition
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives (X ; Y) et (X ‘ ; Y ‘) dans une base orthonormée.
On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u}.\vec{v}$ , le nombre réel défini par $\vec{u}.\vec{v}$ = XX’ + YY’.

IV. Cas des vecteurs colinéaires ou orthogonaux

Propriétés :

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}$ =0.
Nous avons $\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^2$ .
Si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens , alors $\vec{u}.\vec{v}\geq\,\,0$ .
Si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires, alors $\vec{u}.\vec{v}\leq\,\,0$ .

V. Symétrie et bilinéarité

Propriétés :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des vecteurs et k un réel.
On dit que le produit scalaire est symétrique et bilinéaire.

C’est-à-dire que :

$\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ (symétrique)
$\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ et $(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}.=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ (linéarité)
$(k\vec{u})\,.\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k\vec{u}.\vec{v}$

VI. Produit scalaire et angle

Propriété :

Soit A, B et C trois points.

Nous avons le produit scalaire $\vec{AB}.\vec{AC}=AB\times \,AC\times \,cos(\widehat{BAC})$ .

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