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Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur le produit scalaire dans le plan en 1ère S avec les définitions et propriétés du produit scalaire ainsi que le projeté orthogonal.

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan \vec{u} et \vec{v}.

Le produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u}.\vec{v}, est défini par :

\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}( \| \vec{u}+\vec{v } \|^2- \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v}  \|^2).

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}.

Si \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0}, alors \vec{u}.\vec{v}=0.

\vec{u}.\vec{u} est également noté \vec{u}^2, appelé carré scalaire de \vec{u}; Nous avons  \| \vec{u}  \|^2=\vec{u}.\vec{u}.

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \vec{u} et \vec{v}.

On dit que deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, \vec{u}.\vec{v}=0.

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \vec{u} et \vec{v}.

On dit que deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, (\vec{u};\vec{v})=\pm \frac{\pi}{2}[2\pi].

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soit \vec{u}\binom\,{x}{y} et \vec{v}\binom\,{x'}{y'}.

Le produit scalaire de \vec{u} et \vec{v}  est donné par la formule suivante :

\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'.

III.propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

  • Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : \vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}.
  • Pour deux réels k et k’, (k\vec{u}).(k'\vec{v})=kk'\vec{u}.\vec{v}.
  • En particuliers, (-\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(-\vec{v})=-\vec{u}.\vec{v}.

Propriétés : identités remarquables.

  •  \| \vec{u}+\vec{v } \|^2=(\vec{u}+\vec{v})^2= \| \vec{u } \|^2+2\vec{u}.\vec{v}+ \| \vec{v} \|^2.
  •  \| \vec{u}-\vec{v } \|^2=(\vec{u}-\vec{v})^2= \| \vec{u } \|^2-2\vec{u}.\vec{v}+ \| \vec{v} \|^2.
  • (\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v } \|^2.

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}.

théorème médiane

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan \vec{u} et \vec{v} et trois points distincts A,B et C du plan.

  • \vec{u}.\vec{v}= \| \vec{u}  \|\times    \| \vec{v}  \|\times   cos(\vec{u};\vec{v}).
  • \vec{AB}.\vec{AC}= AB \times   AC \times   cos(\widehat{BAC}).

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires, alors :

  • \vec{u}.\vec{v}= \| \vec{u}  \|\times    \| \vec{v}  \| si \vec{u} et \vec{v} ont le même sens.
  • \vec{u}.\vec{v}=- \| \vec{u}  \|\times    \| \vec{v}  \| si \vec{u} et \vec{v} ont des sens contraires.

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