Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF

Sommaire

1 I.Définition du produit scalaire et orthogonalité
2 II.produit scalaire et coordonnées
3 III.propriétés algébriques du produit scalaire
4 IV.Autres expressions du produit scalaire

Cours sur le produit scalaire dans le plan en 1ère S avec les définitions et propriétés du produit scalaire ainsi que le projeté orthogonal.

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u}.\vec{v}$ , est défini par :

$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}( \| \vec{u}+\vec{v } \|^2- \| \vec{u} \|^2- \| \vec{v} \|^2)$ .

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ .

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ , alors $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

$\vec{u}.\vec{u}$ est également noté $\vec{u}^2$ , appelé carré scalaire de $\vec{u}$ ; Nous avons $\| \vec{u} \|^2=\vec{u}.\vec{u}$ .

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $(\vec{u};\vec{v})=\pm \frac{\pi}{2}[2\pi]$ .

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soit $\vec{u}\binom\,{x}{y}$ et $\vec{v}\binom\,{x'}{y'}$ .

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par la formule suivante :

$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$ .

III.propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ .
Pour deux réels k et k’, $(k\vec{u}).(k'\vec{v})=kk'\vec{u}.\vec{v}$ .
En particuliers, $(-\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(-\vec{v})=-\vec{u}.\vec{v}$ .

Propriétés : identités remarquables.

$\| \vec{u}+\vec{v } \|^2=(\vec{u}+\vec{v})^2= \| \vec{u } \|^2+2\vec{u}.\vec{v}+ \| \vec{v} \|^2$ .
$\| \vec{u}-\vec{v } \|^2=(\vec{u}-\vec{v})^2= \| \vec{u } \|^2-2\vec{u}.\vec{v}+ \| \vec{v} \|^2$ .
$(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u} \|^2- \| \vec{v } \|^2$ .

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ .

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points distincts A,B et C du plan.

$\vec{u}.\vec{v}= \| \vec{u} \|\times \| \vec{v} \|\times cos(\vec{u};\vec{v})$ .
$\vec{AB}.\vec{AC}= AB \times AC \times cos(\widehat{BAC})$ .

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors :

$\vec{u}.\vec{v}= \| \vec{u} \|\times \| \vec{v} \|$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont le même sens.
$\vec{u}.\vec{v}=- \| \vec{u} \|\times \| \vec{v} \|$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont des sens contraires.

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