Variables aléatoires : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.

Sommaire

1 I. Variables aléatoires réelles
2 II. Espérance — Variance — Écart-type
- 2.1 1.Définitions et vocabulaire
- 2.2 2.Propriétés des indicateurs

Les variables aléatoires réelles et les probabilités à travers un cours de maths en 1ère à télécharger en PDF. Dans cette leçon, l’élève devra connaître la définition d’une variable aléatoire, d’un événement et d’un univers. Développer des compétences en calculant l’espérance, la variance et l’écart-type et appliquer les propriétés des indicateurs en première.

I. Variables aléatoires réelles

On considère une expérience aléatoire dont l’univers $\Omega\,=\,\{\,e_1;e_2;....;e_r\,\,\}$ est fini et une loi de probabilité p sur $\Omega$ .

Définition : variable aléatoire réelle (discrète).

Une variable aléatoire réelle X sur $\Omega$ est une fonction qui chaque issue de $\Omega$ associe un nombre réel.

Notation :

a étant un nombre réel, on note $\,\{\,X=a\,\,\}$ l’événement « X prend la valeur de a » et sa probabilité.

Exemple :

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : trois boules sont rouges numérotées de 1 à 3 () et trois boules sont vertes numérotées 0,3 et 5 ().
Un joueur mise 2 € et tire une boule au hasard. Si elle est rouge, il gagne 3 ; si elle est verte, il gagne en euros la valeur du numéro indiqué.
L’univers associé à l’expérience aléatoire est $\Omega\,=\,\{\,R_1,R_2,R_3,V_0,V_3,V_5\,\,\}$ .

Toutes les issues sont équiprobables.
La variable aléatoire X qui, à chaque boule choisie, associe le gain en tenant compte de la mise, peut
prendre comme valeur : 3 (en prenant la boule et en soustrayant la mise) ; 1 (en prenant une boule rouge ou la boule et en soustrayant la mise) et-2 (en prenant la boule et en soustrayant la mise).
L’événement « X Prend la valeur 3 », noté $\,\{\,X\,=\,3\,\,\}$ , est réalisé lorsque le joueur tire la boule .
Sa probabilité est $p(X\,=3)=\frac{1}{6}$ car la probabilité de tirer au hasard la boule est $\frac{1}{6}$ .

Définition :

Soit X une variable aléatoire sur $\Omega$ prenant les valeurs

.
Lorsqu’à chaque valeur

, on associe la probabilité

, on définit la loi de probabilité de X.

Remarques :
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X peut se présenter sous la forme d’un tableau.
• La somme des probabilités de toutes valeurs prises par la variable aléatoire est égale 1.

On a : $p_l\,+\,p_2+...+p_n=1$ .

Exemple :
Dans l’exemple précédent, X peut prendre les valeurs 3, 1 et —2. De plus, on a :
$p(X=3)=p(\,\{\,V_5\,\,\})=\frac{1}{6}\,\\p(X=1)=p(\,\{\,R_1;R_2;R_3;V_3;\,\,\})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\,\\p(X=-1)=p(\,\{\,V_0\,\,\})=\frac{1}{6}$

On en déduit que la loi de probabilité de X est donnée dans le tableau ci-dessous.

Remarques :
Les notations $\,\{\,X\geq\,\,a\,\,\},\,\{\,X=a\,\,\},...$ , permettent de définir des événements en lien avec les variables aléatoires.
Dans l’exemple, on peut calculer la probabilité de l’événement $\,\{\,X\geq\,\,0\,\,\}$ , c’est-à-dire la probabilité que le gain soit positif, que l’on note $p(X\geq\,\,0)$ : on a $p(X\geq\,\,0)=p(X=1)+p(X=3)=\frac{5}{6}$ .

II. Espérance — Variance — Écart-type

1.Définitions et vocabulaire

Dans ce paragraphe, X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

Définition : espérance.

L’espérance de X est le nombre réel noté E(X) défini par :

Exemple :
On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

On a : $E(Y)=0,5\times \,(-4)+0,2\times \,0+0,2\times \,4+0,1\times \,20=0,8$

Remarques :
• Lorsque X est une variable aléatoire donnant le gain algébrique à un jeu, E(X) est le gain moyen que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties à ce jeu.
• un jeu est équitable si l’espérance de la variable aléatoire donnant le gain algébrique est nulle.

Définition : variance.

La variance de X est le nombre réel noté V(X) défini par :

V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2

Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a :

$V(Y)=0,5\times \,(-4-0,8)^2+0,2\times \,(0-0,8)^2+0,2\times \,(4-0,8)^2+0,1\times \,(20-0,8)^2=50,56$

Définition : écart-type.

L’écart-type de X est le nombre réel, noté $\sigma\,(X)$ défini par $\sigma\,(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a : $\sigma\,(Y)=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{50,56}\approx\,7,11$

Remarques :
• Ces définitions sont à mettre en lien avec celles de moyenne, variance et écart-type d ‘une série statistique. On peut donc aussi utiliser la calculatrice ou un tableur pour déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire si on a résumé la loi de probabilité de la variable aléatoire dans un tableau.
• Comme en statistiques, l’écart-type permet de se donner une idée de la répartition des valeurs prises par une variable autour de son espérance en tenant compte des probabilités. Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont » éloignées » de l’espérance.

2.Propriétés des indicateurs

Propriété : Formule de König-Huygens.

On a :

V(X)=p_1(x_1)^2+p_2(x_2)^2+...+p_n(x_n)^2-(E(X))^2

Définitions : Variable aléatoire aX + b.

Pour tous nombres réels a et b, on peut définir une nouvelle variable aléatoire en associant à chaque
issue donnant la valeur

, le nombre réel

.
Cette nouvelle variable aléatoire se note aX + b.

Exemple :
Z est une variable aléatoire donnant le gain en euros à un jeu auquel on gagner 2, 4 ou 8 €.

Z Peut donc prendre les valeurs 2, 4 ou 8.
Les organisateurs décident de multiplier les gains par 2 puis de soustraire 1 €.
On obtient alors la variable aléatoire Z’ telle que Z’ = 2Z— 1 , qui donne les gains en euros suite à cette modification.
Z’ peut prendre les valeurs $3\,(2\,\times \,2-\,1)\,;\,7\,(2\,\times \,4-1)\,\,ou\,\,15\,(2\,\times \,8-1)$ .

Propriété : E(aX + b) et V(aX + b).

Soit a et b deux nombres réels.On a :
$E(aX+b)=aE(X)+b\\V(aX+b)=a^2V(X)\\\sigma\,(aX+b)=\,|a\,\,|\sigma\,(X)$

Démonstration :

Pour l’espérance :

$E(aX+b)=p_1\times \,(ax_1+b)+p_2\times \,(ax_2+b)+...+p_n\times \,(ax_n+b)\,\\E(aX+b)=ap_1x_1+p_1b+ap_2x_2+p_2b+...+ap_nx_n+p_nb\,\\E(aX+b)=a(p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n)+b(p_1+p_2+...+p_n)\,\\E(aX+b)=aE(X)+b$

car .

Remarque :

Voir les exercices d’approfondissement pour la propriété de la variance (et donc de

Exemple :
Dans l’exemple précédent, si on a $E(Z)\,=\,3,4$ alors :

$E(Z')=E(2Z-1)=2E(Z)-1=2\times \,3,4-1=5,8$

Propriété : espérance et simulation.

Lorsque l’on crée un échantillon, de taille suffisamment grande, de valeurs prises par une variable
aléatoire (lors de simulations par exemple) la moyenne des valeurs de cet échantillon est proche de la
valeur de l’espérance de cette variable aléatoire.

Remarque :

Le tableur et Python permettent de faire des simulations et d’obtenir au hasard une
valeur prise par une variable aléatoire.

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