Sommaire
I. Variables aléatoires réelles
On considère une expérience aléatoire dont l’univers est fini et une loi de probabilité p sur
.
Définition : variable aléatoire réelle (discrète).
Notation :
a étant un nombre réel, on note l’événement « X prend la valeur de a » et
sa probabilité.
Exemple :
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : trois boules sont rouges numérotées de 1 à 3 () et trois boules sont vertes numérotées 0,3 et 5 (
).
Un joueur mise 2 € et tire une boule au hasard. Si elle est rouge, il gagne 3 ; si elle est verte, il gagne en euros la valeur du numéro indiqué.
L’univers associé à l’expérience aléatoire est .
Toutes les issues sont équiprobables.
La variable aléatoire X qui, à chaque boule choisie, associe le gain en tenant compte de la mise, peut
prendre comme valeur : 3 (en prenant la boule et en soustrayant la mise) ; 1 (en prenant une boule rouge ou la boule
et en soustrayant la mise) et-2 (en prenant la boule
et en soustrayant la mise).
L’événement « X Prend la valeur 3 », noté, est réalisé lorsque le joueur tire la boule
.
Sa probabilité est car la probabilité de tirer au hasard la boule
est
.
Définition :
Lorsqu’à chaque valeur
Remarques :
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X peut se présenter sous la forme d’un tableau.
• La somme des probabilités de toutes valeurs prises par la variable aléatoire est égale 1.
On a : .
Exemple :
Dans l’exemple précédent, X peut prendre les valeurs 3, 1 et —2. De plus, on a :
On en déduit que la loi de probabilité de X est donnée dans le tableau ci-dessous.
Remarques :
Les notations , permettent de définir des événements en lien avec les variables aléatoires.
Dans l’exemple, on peut calculer la probabilité de l’événement , c’est-à-dire la probabilité que le gain soit positif, que l’on note
: on a
.
II. Espérance — Variance — Écart-type
1.Définitions et vocabulaire
Dans ce paragraphe, X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.
Définition : espérance.
Exemple :
On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.
On a :
Remarques :
• Lorsque X est une variable aléatoire donnant le gain algébrique à un jeu, E(X) est le gain moyen que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties à ce jeu.
• un jeu est équitable si l’espérance de la variable aléatoire donnant le gain algébrique est nulle.
Définition : variance.
Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a :
Définition : écart-type.
Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a :
Remarques :
• Ces définitions sont à mettre en lien avec celles de moyenne, variance et écart-type d ‘une série statistique. On peut donc aussi utiliser la calculatrice ou un tableur pour déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire si on a résumé la loi de probabilité de la variable aléatoire dans un tableau.
• Comme en statistiques, l’écart-type permet de se donner une idée de la répartition des valeurs prises par une variable autour de son espérance en tenant compte des probabilités. Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont » éloignées » de l’espérance.
2.Propriétés des indicateurs
Propriété : Formule de König-Huygens.
Définitions : Variable aléatoire aX + b.
issue donnant la valeur
Cette nouvelle variable aléatoire se note aX + b.
Exemple :
Z est une variable aléatoire donnant le gain en euros à un jeu auquel on gagner 2, 4 ou 8 €.
Z Peut donc prendre les valeurs 2, 4 ou 8.
Les organisateurs décident de multiplier les gains par 2 puis de soustraire 1 €.
On obtient alors la variable aléatoire Z’ telle que Z’ = 2Z— 1 , qui donne les gains en euros suite à cette modification.
Z’ peut prendre les valeurs .
Propriété : E(aX + b) et V(aX + b).
On a :
.
Démonstration :
Pour l’espérance :
car .
Remarque :
Voir les exercices d’approfondissement pour la propriété de la variance (et donc de
Exemple :
Dans l’exemple précédent, si on a alors :
Propriété : espérance et simulation.
aléatoire (lors de simulations par exemple) la moyenne des valeurs de cet échantillon est proche de la
valeur de l’espérance de cette variable aléatoire.
Remarque :
Le tableur et Python permettent de faire des simulations et d’obtenir au hasard une
valeur prise par une variable aléatoire.
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