cours premiere

Variable aléatoires : Cours Maths 1ère et leçon en PDF en première.

Les variables aléatoires réelles et les probabilités à travers un cours de maths en 1ère à télécharger en PDF. Dans cette leçon, l’élève devra connaître la définition d’une variable aléatoire, d’un événement et d’un univers. Développer des compétences en calculant l’espérance, la variance et l’écart-type et appliquer les propriétés des indicateurs en première.

I. Variables aléatoires réelles

On considère une expérience aléatoire dont l’univers \Omega = \{ e_1;e_2;....;e_r  \} est fini et une loi de probabilité p sur \Omega.

Définition : variable aléatoire réelle (discrète).

Une variable aléatoire réelle X sur \Omega est une fonction qui chaque issue de \Omega associe un nombre réel.

Notation :

a étant un nombre réel, on note  \{ X=a  \} l’événement « X prend la valeur de a » et p(X=a) sa probabilité.

Exemple :

variable aléatoire réelle 1
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : trois boules sont rouges numérotées de 1 à 3 (R_1,R_2,R_3) et trois boules sont vertes numérotées 0,3 et 5 (V_0,V_3,V_5).
Un joueur mise 2 € et tire une boule au hasard. Si elle est rouge, il gagne 3 ; si elle est verte, il gagne en euros la valeur du numéro indiqué.
L’univers associé à l’expérience aléatoire est \Omega = \{ R_1,R_2,R_3,V_0,V_3,V_5  \}.

Toutes les issues sont équiprobables.
La variable aléatoire X qui, à chaque boule choisie, associe le gain en tenant compte de la mise, peut
prendre comme valeur : 3 (en prenant la boule V_5 et en soustrayant la mise) ; 1 (en prenant une boule rouge ou la boule V_3 et en soustrayant la mise) et-2 (en prenant la boule V_0 et en soustrayant la mise).
L’événement « X Prend la valeur 3 », noté \{ X = 3  \}, est réalisé lorsque le joueur tire la boule V_5.
Sa probabilité est p(X =3)=\frac{1}{6}  car la probabilité de tirer au hasard la boule V_5 est \frac{1}{6}.

Définition :

Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1,x_2,...,x_n.
Lorsqu’à chaque valeur x_i, on associe la probabilité p_i=p(X=x_i), on définit la loi de probabilité de X.

Remarques :
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X peut se présenter sous la forme d’un tableau.
• La somme des probabilités de toutes valeurs prises par la variable aléatoire est égale 1.

On a : p_l + p_2+...+p_n=1.

variable aléatoire réelle 2

Exemple :
Dans l’exemple précédent, X peut prendre les valeurs 3, 1 et —2. De plus, on a :
p(X=3)=p( \{ V_5  \})=\frac{1}{6} \\p(X=1)=p( \{ R_1;R_2;R_3;V_3;  \})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\p(X=-1)=p( \{ V_0  \})=\frac{1}{6}

On en déduit que la loi de probabilité de X est donnée dans le tableau ci-dessous.

variable aléatoire réelle 3

Remarques :
Les notations  \{ X\geq\, a  \}, \{ X=a  \},..., permettent de définir des événements en lien avec les variables aléatoires.
Dans l’exemple, on peut calculer la probabilité de l’événement  \{ X\geq\, 0  \}, c’est-à-dire la probabilité que le gain soit positif, que l’on note p(X\geq\, 0): on a p(X\geq\, 0)=p(X=1)+p(X=3)=\frac{5}{6}.

II. Espérance — Variance — Écart-type

1.Définitions et vocabulaire

Dans ce paragraphe, X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

tableau-1

Définition : espérance.

L’espérance de X est le nombre réel noté E(X) défini par :
E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n.

Exemple :
On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

tableau-2

On a : E(Y)=0,5\times   (-4)+0,2\times   0+0,2\times   4+0,1\times   20=0,8

Remarques :
• Lorsque X est une variable aléatoire donnant le gain algébrique à un jeu, E(X) est le gain moyen que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties à ce jeu.
• un jeu est équitable si l’espérance de la variable aléatoire donnant le gain algébrique est nulle.

Définition : variance.

La variance de X est le nombre réel noté V(X) défini par :
V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2.

Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a :

V(Y)=0,5\times   (-4-0,8)^2+0,2\times   (0-0,8)^2+0,2\times   (4-0,8)^2+0,1\times   (20-0,8)^2=50,56

Définition : écart-type.

L’écart-type de X est le nombre réel, noté \sigma (X) défini par \sigma (X)=\sqrt{V(X)}.

Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a : \sigma (Y)=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{50,56}\approx 7,11

Remarques :
• Ces définitions sont à mettre en lien avec celles de moyenne, variance et écart-type d ‘une série statistique. On peut donc aussi utiliser la calculatrice ou un tableur pour déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire si on a résumé la loi de probabilité de la variable aléatoire dans un tableau.
• Comme en statistiques, l’écart-type permet de se donner une idée de la répartition des valeurs prises par une variable autour de son espérance en tenant compte des probabilités. Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont  » éloignées » de l’espérance.

2.Propriétés des indicateurs

Propriété : Formule de König-Huygens.

On a : V(X)=p_1(x_1)^2+p_2(x_2)^2+...+p_n(x_n)^2-(E(X))^2.

Définitions : Variable aléatoire aX + b.

Pour tous nombres réels a et b, on peut définir une nouvelle variable aléatoire en associant à chaque
issue donnant la valeur x_i, le nombre réel ax_i+b.
Cette nouvelle variable aléatoire se note aX + b.

Exemple :
Z est une variable aléatoire donnant le gain en euros à un jeu auquel on gagner 2, 4 ou 8 €.

Z Peut donc prendre les valeurs 2, 4 ou 8.
Les organisateurs décident de multiplier les gains par 2 puis de soustraire 1 €.
On obtient alors la variable aléatoire Z’ telle que Z’ = 2Z— 1 , qui donne les gains en euros suite à cette modification.
Z’ peut prendre les valeurs 3 (2 \times   2- 1) ; 7 (2 \times   4-1)\, ou \,15 (2 \times   8-1).

Propriété : E(aX + b) et V(aX + b).

Soit a et b deux nombres réels.

On a :
E(aX+b)=aE(X)+b\\V(aX+b)=a^2V(X)\\\sigma (aX+b)= |a  |\sigma (X).

Démonstration :

Pour l’espérance :

E(aX+b)=p_1\times   (ax_1+b)+p_2\times   (ax_2+b)+...+p_n\times   (ax_n+b) \\E(aX+b)=ap_1x_1+p_1b+ap_2x_2+p_2b+...+ap_nx_n+p_nb \\E(aX+b)=a(p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n)+b(p_1+p_2+...+p_n) \\E(aX+b)=aE(X)+b

car p_1+p_2+...+p_n=1.

Remarque :

Voir les exercices d’approfondissement pour la propriété de la variance (et donc de

Exemple :
Dans l’exemple précédent, si on a E(Z) = 3,4 alors :

E(Z')=E(2Z-1)=2E(Z)-1=2\times   3,4-1=5,8

Propriété : espérance et simulation.

Lorsque l’on crée un échantillon, de taille suffisamment grande, de valeurs prises par une variable
aléatoire (lors de simulations par exemple) la moyenne des valeurs de cet échantillon est proche de la
valeur de l’espérance de cette variable aléatoire.

Remarque :

Le tableur et Python permettent de faire des simulations et d’obtenir au hasard une
valeur prise par une variable aléatoire.


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «variable aléatoires : Cours Maths 1ère et leçon en PDF en première.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Télécharger nos applications gratuites Maths PDf avec tous les cours,exercices corrigés Application Maths PDF sur Google Play Store. Application Maths PDF sur Apple Store. .

D'autres articles similaires à variable aléatoires : Cours Maths 1ère et leçon en PDF en première.

Maths PDF est un site de mathématiques géré par des enseignants titulaires de l'éducation nationale vous permettant de réviser en ligne afin de combler vos diverses lacunes.
Vous trouverez sur ce site de mathématiques de nombreuses ressources de la primaire, au collège puis au lycée dans le même thème que variable aléatoires : Cours Maths 1ère et leçon en PDF en première..
Tous les cours de maths sont rédigés par des enseignants et ils vous permettent de réviser en ligne les différentes notions et contenus abordés en classe avec votre professeur comme les définitons, les propriétés ou les différents théorèmes.
Développer des compétences et des savoirs faires tout au long de l'année scolaire afin d'envisager une progression constante tout au long de l'année.
Un site de mathématiques totalement gratuit par le biais duquel, vous pourrez exporter toutes les leçons et tous les exercices gratuitement en PDF afin de les télécharger ou de les imprimer librement. Des milliers d'exercices de maths similaires à ceux de votre manuel scolaire afin de vous exercer en ligne et de combler vos lacunes en repérant vos différentes erreurs.
Pour la partie algorithme et programmation, vous trouverez de nombreux exercices réalisés avec le programme Scratch mais également, de nombreux extraits de sujets du brevet de maths ainsi que des sujets du baccalauréat de mathématiques similaires à variable aléatoires : Cours Maths 1ère et leçon en PDF en première.

  • 75
    Probabilités conditionnelles et indépendance : Cours Maths 1ère Les probabilités conditionnelles et la notion d'indépendance à travers un cours de maths en première à télécharger en PDF. Nous aborderons les arbres pondérés et les événements indépendants et nous calculerons différentes probabilités à travers différents exemples issus de la vie courante et similaires à ceux de votre manuel scolaire.…
    Tags: on, a, probabilité, exemple, cours, ère
  • 69
    Suites numériques : cours de maths en 1ère S en PDF Cours sur les suites numériques en 1ère S avec définitions et propriétés des suites ainsi que les suites arithmétiques et géométriques en première S. I.Mode de génération d'une suite numérique Définition : suite numérique. Une suite numérique est une fonction de dans . L'image de l'entier n par la suite…
    Tags: on, cours, ère
  • 68
    Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère S en PDF Cours sur la dérivée d'une fonction en première S avec son signe et les variations d'une fonction en première s ainsi que les propriétés. On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de et sa courbe représentative. I.Nombre dérivé et tangente à une courbe Définition…
    Tags: on, a, nombre, cours, ère
  • 67
    Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S en PDF Cours sur le produit scalaire dans le plan en 1ère S avec les définitions et propriétés du produit scalaire ainsi que le projeté orthogonal. I.Définition du produit scalaire et orthogonalité Définition : On considère deux vecteurs du plan et . Le produit scalaire de et , noté , est défini…
    Tags: on, cours, ère
  • 65
    Vecteurs, droites et plans : cours en 1ère S en PDF. Cours sur les vecteurs, les droites et les plans en première s avec les définitions et les propriétés à connaître en 1ère S. I.Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls  et  sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que . Propriété…
    Tags: a, cours, ère

Les dernières fiches de maths mises à jour


Les fiches d'exercices les plus consultées


Corrigé des exercices sur YouTube

Inscription gratuite à Maths PDF.  Maths PDF c'est 3 756 599 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 3 445 exercices.

videos maths youtube
Maths PDF

GRATUIT
VOIR