Variable aléatoires : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.

Mis à jour le 4 août 2025

Sommaire

📚Cours de MathématiquesPremière • lycée

Variable aléatoires

⏱️Temps de lecture : 9 min

🎯Difficulté : Avancé

📚Cycle terminal

📋Prérequis : Programme 2nde maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les variables aléatoires réelles et les probabilités à travers un cours de maths en 1ère à télécharger en PDF. Dans cette leçon, l’élève devra connaître la définition d’une variable aléatoire, d’un événement et d’un univers. Développer des compétences en calculant l’espérance, la variance et l’écart-type et appliquer les propriétés des indicateurs en première.

I. Variables aléatoires réelles

On considère une expérience aléatoire dont l’univers $\Omega\,=\,\{\,e_1;e_2;....;e_r\,\,\}$ est fini et une loi de probabilité p sur $\Omega$ .

Définition : variable aléatoire réelle (discrète).

Une variable aléatoire réelle X sur $\Omega$ est une fonction qui chaque issue de $\Omega$ associe un nombre réel.

Notation :

a étant un nombre réel, on note $\,\{\,X=a\,\,\}$ l’événement « X prend la valeur de a » et p(X=a) sa probabilité.

Exemple :

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : trois boules sont rouges numérotées de 1 à 3 () et trois boules sont vertes numérotées 0,3 et 5 ().
Un joueur mise 2 € et tire une boule au hasard. Si elle est rouge, il gagne 3 ; si elle est verte, il gagne en euros la valeur du numéro indiqué.
L’univers associé à l’expérience aléatoire est $\Omega\,=\,\{\,R_1,R_2,R_3,V_0,V_3,V_5\,\,\}$ .

Toutes les issues sont équiprobables.
La variable aléatoire X qui, à chaque boule choisie, associe le gain en tenant compte de la mise, peut
prendre comme valeur : 3 (en prenant la boule V_5 et en soustrayant la mise) ; 1 (en prenant une boule rouge ou la boule V_3 et en soustrayant la mise) et-2 (en prenant la boule V_0 et en soustrayant la mise).
L’événement « X Prend la valeur 3 », noté $\,\{\,X\,=\,3\,\,\}$ , est réalisé lorsque le joueur tire la boule V_5 .
Sa probabilité est $p(X\,=3)=\frac{1}{6}$ car la probabilité de tirer au hasard la boule V_5 est $\frac{1}{6}$ .

Définition :

Soit X une variable aléatoire sur $\Omega$ prenant les valeurs

.
Lorsqu’à chaque valeur x_i

, on associe la probabilité

, on définit la loi de probabilité de X.

Remarques :
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X peut se présenter sous la forme d’un tableau.
• La somme des probabilités de toutes valeurs prises par la variable aléatoire est égale 1.

On a : $p_l\,+\,p_2+...+p_n=1$ .

Exemple :
Dans l’exemple précédent, X peut prendre les valeurs 3, 1 et —2. De plus, on a :
$p(X=3)=p(\,\{\,V_5\,\,\})=\frac{1}{6}\,\\p(X=1)=p(\,\{\,R_1;R_2;R_3;V_3;\,\,\})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\,\\p(X=-1)=p(\,\{\,V_0\,\,\})=\frac{1}{6}$

On en déduit que la loi de probabilité de X est donnée dans le tableau ci-dessous.

Remarques :
Les notations $\,\{\,X\geq\,\,a\,\,\},\,\{\,X=a\,\,\},...$ , permettent de définir des événements en lien avec les variables aléatoires.
Dans l’exemple, on peut calculer la probabilité de l’événement $\,\{\,X\geq\,\,0\,\,\}$ , c’est-à-dire la probabilité que le gain soit positif, que l’on note $p(X\geq\,\,0)$ : on a $p(X\geq\,\,0)=p(X=1)+p(X=3)=\frac{5}{6}$ .

II. Espérance — Variance — Écart-type

1.Définitions et vocabulaire

Dans ce paragraphe, X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

Définition : espérance.

L’espérance de X est le nombre réel noté E(X) défini par :

Exemple :
On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

On a : $E(Y)=0,5\times \,(-4)+0,2\times \,0+0,2\times \,4+0,1\times \,20=0,8$

Remarques :
• Lorsque X est une variable aléatoire donnant le gain algébrique à un jeu, E(X) est le gain moyen que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties à ce jeu.
• un jeu est équitable si l’espérance de la variable aléatoire donnant le gain algébrique est nulle.

Définition : variance.

La variance de X est le nombre réel noté V(X) défini par :

V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2

Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a :

$V(Y)=0,5\times \,(-4-0,8)^2+0,2\times \,(0-0,8)^2+0,2\times \,(4-0,8)^2+0,1\times \,(20-0,8)^2=50,56$

Définition : écart-type.

L’écart-type de X est le nombre réel, noté $\sigma\,(X)$ défini par $\sigma\,(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Exemple :
Dans l’exemple précédent, on a : $\sigma\,(Y)=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{50,56}\approx\,7,11$

Remarques :
• Ces définitions sont à mettre en lien avec celles de moyenne, variance et écart-type d ‘une série statistique. On peut donc aussi utiliser la calculatrice ou un tableur pour déterminer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire si on a résumé la loi de probabilité de la variable aléatoire dans un tableau.
• Comme en statistiques, l’écart-type permet de se donner une idée de la répartition des valeurs prises par une variable autour de son espérance en tenant compte des probabilités. Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs prises par la variable aléatoire sont » éloignées » de l’espérance.

2.Propriétés des indicateurs

Propriété : Formule de König-Huygens.

On a :

V(X)=p_1(x_1)^2+p_2(x_2)^2+...+p_n(x_n)^2-(E(X))^2

Définitions : Variable aléatoire aX + b.

Pour tous nombres réels a et b, on peut définir une nouvelle variable aléatoire en associant à chaque
issue donnant la valeur x_i

, le nombre réel ax_i+b

.
Cette nouvelle variable aléatoire se note aX + b.

Exemple :
Z est une variable aléatoire donnant le gain en euros à un jeu auquel on gagner 2, 4 ou 8 €.

Z Peut donc prendre les valeurs 2, 4 ou 8.
Les organisateurs décident de multiplier les gains par 2 puis de soustraire 1 €.
On obtient alors la variable aléatoire Z’ telle que Z’ = 2Z— 1 , qui donne les gains en euros suite à cette modification.
Z’ peut prendre les valeurs $3\,(2\,\times \,2-\,1)\,;\,7\,(2\,\times \,4-1)\,\,ou\,\,15\,(2\,\times \,8-1)$ .

Propriété : E(aX + b) et V(aX + b).

Soit a et b deux nombres réels.On a :
$E(aX+b)=aE(X)+b\\V(aX+b)=a^2V(X)\\\sigma\,(aX+b)=\,|a\,\,|\sigma\,(X)$

Démonstration :

Pour l’espérance :

$E(aX+b)=p_1\times \,(ax_1+b)+p_2\times \,(ax_2+b)+...+p_n\times \,(ax_n+b)\,\\E(aX+b)=ap_1x_1+p_1b+ap_2x_2+p_2b+...+ap_nx_n+p_nb\,\\E(aX+b)=a(p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n)+b(p_1+p_2+...+p_n)\,\\E(aX+b)=aE(X)+b$

car .

Remarque :

Voir les exercices d’approfondissement pour la propriété de la variance (et donc de

Exemple :
Dans l’exemple précédent, si on a $E(Z)\,=\,3,4$ alors :

$E(Z')=E(2Z-1)=2E(Z)-1=2\times \,3,4-1=5,8$

Propriété : espérance et simulation.

Lorsque l’on crée un échantillon, de taille suffisamment grande, de valeurs prises par une variable
aléatoire (lors de simulations par exemple) la moyenne des valeurs de cet échantillon est proche de la
valeur de l’espérance de cette variable aléatoire.

Remarque :

Le tableur et Python permettent de faire des simulations et d’obtenir au hasard une
valeur prise par une variable aléatoire.

Autre version de cette leçon

I. Calculer des fréquences

Définition :

Dans une série statistique à deux variables (ou série statistique bivariée), les valeurs sont généralement représentées dans un tableau croisé d’effectifs.
Les sommes des lignes et des colonnes d’un tableau double entrée sont appelées les marges du tableau.
Elles apparaissent en jaune dans le tableau ci-dessous.
La fréquence marginale d’une valeur est le quotient de l’effectif total de cette valeur par l’effectif total.

Remarque :

On parle de fréquence marginale car on utilise uniquement les nombres situés dans la marge du tableau.

Exemple :
On considère une classe de première constituée de 32 élèves ayant choisi ou non la spécialité HGGSP.
Sur l’ensemble des 32 élèves de la classe, 21 ont choisi la spécialité HGGSP.

La fréquence marginale de la valeur « spécialité HGGSP » est donc $\frac{21}{32}$ .
Sur l’ensemble des 32 élèves de la classe, 14 sont des filles.
La fréquence marginale de la valeur « filles » est donc égale à $\frac{14}{32}$ soit 43,75 %.

Définition :

Lorsque l’on cherche la fréquence d’apparition de la valeur A uniquement pour une sous-population non
vide B de la série statistique, on dit que l’on calcule la fréquence conditionnelle de la valeur A parmi B.
Cette fréquence conditionnelle, notée f_B(A) , est égale à $f_B(A)=\frac{effectif\,verifiant\,a\,la\,fois\,A\,parmi\,B}{effectif\,de\,B}$ .

Remarque :

On parle de fréquence conditionnelle car on calcule la fréquence d’une valeur en imposant une condition.

Exemple :
On reprend l’exemple ci-dessus et on cherche connaitre la fréquence de filles (valeur A) parmi les élèves
n’ayant pas choisi la spécialité HGGSP (sous-population B).

Dans le tableau, on lit qu’il y a 5 filles qui n’ont pas choisi la spécialité HGGSP sur un total de 11 élèves qui ne suivent pas cette spécialité.
5
Ainsi, $f_B(A)=\frac{5}{11}\simeq\,0,455$ .

Parmi les élèves qui ne sont pas inscrits en HGGSP, il y a environ 45,5 % de filles.

II. Calculer des probabilités

Soit A et B deux événements d’un même univers de probabilité non nulle.

Définition :

La probabilité conditionnelle que l’événement B se réalise sachant que l’événement A s’est déjà réalisé se note $P_A\,(B)$ et est définie par $P_A\,(B)=\frac{P(A\cap\,B)}{P(A)}$ .

Exemple :

On reprend l’exemple précédent. On choisit un élève de la classe au hasard et on considère les événements :
A : « L’élève a choisi la spécialité HGGSP » et B : « L’élève est un garçon ».

On utilise le tableau pour trouver $P_A\,(B)=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$ .

La probabilité de choisir un garçon sachant que l’élève choisi suit la spécialité HGGSP est de $\frac{4}{7}$ .

Définition :

Lorsqu’on réalise une expérience aléatoire mettant en jeu plusieurs événements, il est plus facile d’organiser les différentes issues en utilisant un arbre de probabilités.

La première série de branche sépare les issues selon la réalisation du premier événement.

La deuxième série de branche selon le deuxième événement, etc.
On indique sur chaque branche de l’arbre la probabilité correspondante comme indiquée sur l’arbre ci-dessous.
Les probabilités du deuxième niveau de l’arbre sont des probabilités conditionnelles.

Propriétés :

1. Dans un arbre de probabilité, la somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est
égale à 1.
2. On appelle chemin une suite de branches décrivant une succession d’événements. La probabilité d’un
chemin est égale au produit des probabilités situées sur les branches qui le composent.
3.La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.

Définition :

Les événements A et B sont dits indépendants lorsque $P_A\,(B)=P(B)$ ou, de manière symétrique, lorsque .

Remarque :

Intuitivement, cela signifie que la probabilité que B se réalise ne dépend pas de la réalisation de l’événement A.

Exemple :

En conservant le même exemple, on observe que $P_B(A)=\,\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ et $P(A)=\frac{21}{32}$ .
On en déduit que les événements A et B ne sont pas indépendants.

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