Vecteurs et droites du plan : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Déterminer si les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

1. \(A(3\,;\,-2)\), \(B(-1\,;\,-1)\), \(C(-3\,;\,2)\) et \(D(1\,;\,3)\)
2. \(A(-9\,;\,-2)\), \(B(1\,;\,3)\), \(C(3\,;\,-2)\) et \(D(1\,;\,-3)\)
3. \(A(-1\,;\,2)\), \(B(-1\,;\,3)\), \(C(3\,;\,2)\) et \(D(4\,;\,2)\)
4. \(A\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{7}{3}\right)\), \(B\left(\dfrac{3}{2}\,;\,3\right)\), \(C\left(\dfrac{9}{5}\,;\,-1\right)\) et \(D\left(-\dfrac{6}{5}\,;\,-2\right)\)
5. \(A(14\,;\,4)\), \(B(-18\,;\,-12)\), \(C(2\,;\,4)\) et \(D(-18\,;\,-4)\)

Dans chacun des cas suivants, déterminer si les droites \((CD)\) et \((EH)\) sont parallèles.

1. \(E(2\,;\,6)\), \(H(10\,;\,6)\), \(C(1\,;\,1)\) et \(D(9\,;\,-1)\)
2. \(E(-3\,;\,10)\), \(H(-3\,;\,2)\), \(C(4\,;\,7)\) et \(D(4\,;\,8)\)
3. \(E(2\,;\,3)\), \(H\left(3\,;\,\dfrac{9}{2}\right)\), \(C(-3\,;\,2)\) et \(D(-1\,;\,5)\)
4. \(E\left(-\dfrac{2}{3}\,;\,-\dfrac{3}{4}\right)\), \(H(1\,;\,-2)\), \(C(1\,;\,-1)\) et \(D(9\,;\,-7)\)
5. \(E\left(\sqrt{2}\,;\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\), \(H\left(0\,;\,\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\), \(C\left(\sqrt{3}\,;\,\sqrt{2}\right)\) et \(D\left(-\sqrt{3}\,;\,0\right)\)

Dans chacun des cas suivants, déterminer si les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

1. \(A(-9\,;\,4)\), \(B(1\,;\,-1)\) et \(C(4\,;\,-2)\)
2. \(A(-4\,;\,0)\), \(B(-2\,;\,1)\) et \(C\left(3\,;\,\dfrac{7}{2}\right)\)
3. \(A(-4\,;\,4)\), \(B(-4\,;\,6)\) et \(C(-3\,;\,2)\)

Déterminer si les couples de vecteurs suivants sont colinéaires.

1. \(\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-11 \\ 5\end{pmatrix}\)
2. \(\vec{a}\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} \\ 3\end{pmatrix}\) et \(\vec{b}\begin{pmatrix}\dfrac{15}{4} \\ \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}\)
3. \(\vec{r}\begin{pmatrix}-\sqrt{2} \\ -3\end{pmatrix}\) et \(\vec{s}\begin{pmatrix}-2 \\ -3\sqrt{2}\end{pmatrix}\)
4. \(\vec{a}\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{5}{12}\end{pmatrix}\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}\dfrac{14}{5} \\ \dfrac{6}{7}\end{pmatrix}\)
5. \(\vec{b}\begin{pmatrix}\sqrt{5} \\ -4\sqrt{3}\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}\sqrt{20} \\ -\sqrt{24}\end{pmatrix}\)

Dans chacun des cas, déterminer si les points suivants sont alignés.

1. \(F\left(\dfrac{2}{3}\,;\,1\right)\), \(G\left(-2\,;\,\dfrac{1}{3}\right)\) et \(H(5\,;\,2)\)
2. \(B(0\,;\,0)\), \(C(\sqrt{2}\,;\,\sqrt{6})\) et \(D(4\,;\,4\sqrt{3})\)
3. \(E(1\,;\,2)\), \(F(-3\,;\,8{,}28)\) et \(G(3\,;\,2-\pi)\)
4. \(A(-6\,;\,4)\), \(B(\sqrt{2}-2\,;\,-\sqrt{2})\) et \(D(\sqrt{5}-2\,;\,-\sqrt{5})\)
5. \(C(\pi\,;\,\pi)\), \(D(1\,;\,2-\pi)\) et \(H(\pi-4\,;\,\pi-2)\)

Indiquer, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}\) sont colinéaires.
2. Si \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD}\), alors \(ABCD\) est un parallélogramme.
3. Si \(\overrightarrow{EF} = \dfrac{5}{6}\overrightarrow{FG}\), alors \(E\) est un point de \([FG]\).
4. Pour tout réel \(x\), \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\x\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}\sqrt{18}\\3x\end{pmatrix}\) sont colinéaires.

Soit \(x\) un réel.

Déterminer toutes les valeurs de \(x\) possibles pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient colinéaires.

1. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}2x+1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\)
2. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}3\\x\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}x\\\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}\)
3. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}\dfrac{1}{x}\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}3\\x\end{pmatrix}\)
4. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}x+1\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}2\\x\end{pmatrix}\)

On considère les points \(A(7\,;\,-1)\) et \(B(-7\,;\,4)\).

Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite \((AB)\) avec les axes du repère.

\(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points du plan.

Montrer que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

1. \(\vec{u} = 4\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\vec{v} = -12\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
2. \(\vec{u} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{5}{6}\overrightarrow{AC}\) et \(\vec{v} = 3\overrightarrow{AB} + \dfrac{15}{4}\overrightarrow{AC}\)
3. \(\vec{u} = \dfrac{5}{4}\overrightarrow{CA} + \dfrac{15}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = -6\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

On considère deux points \(A\) et \(B\) et un point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}\) où \(k\) est un réel.

Déterminer la ou les valeur(s) de \(k\) telles que :

1. \(A\) soit le milieu de \([MB]\) ;
2. \(M\) soit sur le cercle de centre \(B\) et de rayon \(2AB\) ;
3. \(M\) appartienne à \([BA]\).

On considère un triangle quelconque \(ABC\).

1. Faire une figure.
2. On considère le point \(M\) tel que :
   \[\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{BM} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.\]
   1. En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) à l’aide de vecteurs formés des points \(A\), \(B\) et \(C\) uniquement.
   2. Que peut-on dire des points \(A\), \(C\) et \(M\) ?
   3. Placer le point \(M\) sur la figure.

On considère les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) d^{\prime}équation respective \(x - 4y - 5 = 0\) et \(-2x + 3y = 4\).

1. a) Le point \(A(1\,;\,-1)\) appartient-il à la droite \(d\) ?
   b) Déterminer les coordonnées du point \(E\) d^{\prime}abscisse 5 appartenant à la droite \(d\).
   c) Tracer la droite \(d\) dans un repère.
2. Tracer dans le même repère la droite \(d^{\prime}\).

On considère les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) d^{\prime}équation respective \(2x + y + 3 = 0\) et \(3x - y + 1 = 0\).

1. a) Déterminer les coordonnées des points d^{\prime}intersection de \(d\) avec les axes du repère.
   b) Tracer la droite \(d\).
2. a) Trouver deux points à coordonnées entières qui appartiennent à \(d^{\prime}\).
   b) Tracer la droite \(d^{\prime}\) dans le repère précédent.

Tracer dans un repère les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) d^{\prime}équation respective \(4x - y + 5 = 0\) et \(-x + 1{,}5y - 3{,}5 = 0\).

Points inconnus

On considère un paramètre réel \(m\).

1. Soit \(d\) la droite d^{\prime}équation \(2x - 5y + 2 = 0\).
   Trouver les éventuelles valeurs de \(m\) telles que \(A \in d\).
   a) \(A\left(m\,;\,-\dfrac{1}{3}\right)\) b) \(A(0\,;\,m^2)\) c) \(A(5m\,;\,2m+1)\) d) \(A(m^2-1\,;\,m)\)
2. Reprendre la question précédente avec la droite \(d^{\prime}\) d’équation \(4x + 5 = 0\).

Déterminer une équation cartésienne de la droite :

1. \(d_1\) passant par \(A(4\,;\,-1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\)
2. \(d_2\) passant par \(B(0\,;\,0)\) et de vecteur directeur \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\)
3. \(d_3\) passant par \(C(0\,;\,-1)\) et de vecteur directeur \(\vec{r}\)\(\begin{pmatrix}1/3\\-1/2\end{pmatrix}\)
4. \(d_4\) passant par \(D(1\,;\,1)\) et de vecteur directeur \(\vec{s}\)\(\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\)

Donner un vecteur directeur et un point de la droite \(d\) d’équation.

1. \(-x + y = 3\)
2. \(12x + 25y - 7 = 0\)
3. \(y - 7x = -8\)
4. \(-2x + 1 = 0\)
5. \(y = 2x - 5\)
6. \(\dfrac{x}{3} + y - 1 = 0\)

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\) dans les cas suivants :

1. \(A(1\,;\,2)\) et \(B(0\,;\,3)\)
2. \(A(0\,;\,5)\) et \(B(-1\,;\,5)\)
3. \(A(0\,;\,1)\) et \(B(1\,;\,0)\)
4. \(A\left(\dfrac{1}{2}\,;\,-1\right)\) et \(B(2\,;\,-4)\)

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par les points :

1. \(C(2\,;\,0)\) et \(D(4\,;\,-3)\)
2. \(E(2\,;\,3)\) et \(H(2\,;\,-6)\)
3. \(F\left(\dfrac{1}{3}\,;\,3\right)\) et \(R\left(2\,;\,-\dfrac{1}{5}\right)\)
4. \(L\left(\dfrac{1}{3}\,;\,5\right)\) et \(N\left(\dfrac{4}{3}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)\)

On considère les quatre droites \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) et \(d_4\) tracées dans le repère ci-dessous.

Associer chaque droite à son équation.

1. \(-x + y - 1 = 0\)
2. \(2x - 5 = 0\)
3. \(2x - 2y + 6 = 0\)
4. \(2x - 3y = 0\)

Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ?

1. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}\)
2. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}\)
3. \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}-14\\28\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\)\(\begin{pmatrix}-8\\12\end{pmatrix}\)

On considère la droite \(d\) d’équation cartésienne \(-2x + 3y - 4 = 0\).

1. Le point \(A(-1\,;\,2)\) appartient-il à la droite \(d\) ?
2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de \(d\) avec l’axe des abscisses.

On considère le graphique ci-dessous.

Donner la décomposition des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\) selon les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Déterminer une équation de la droite \(d\) passant par \(A(0\,;\,1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\)\(\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\).

Déterminer un vecteur directeur de la droite \(d\) d^{\prime}équation \(y - 3x = 4\).

Donner l^{\prime}équation réduite des droites suivantes.

1. \(d\) d^{\prime}équation \(x - y + 2 = 0\)
2. \(d^{\prime}\) d’équation \(6x + 2y = 1\)

On considère le carré ABCD de centre O et de côté 8.

Calculer les produits scalaires suivants :

a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO}\) b) \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD}\)
c) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) d) \(\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BC}\)

ABCD est un rectangle de centre F et E est le symétrique du point F par rapport à la droite (BC). Calculer les produits scalaires suivants.

a) \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BE}\) b) \(\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CD}\) c) \(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AB}\) d) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BE}\) e) \(\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{DC}\) f) \(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BE}\)

On donne les points A et B tels que \(AB = 12\) et I le milieu du segment [AB]. Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 4\).

Déterminer un vecteur normal à chacune des droites données par les équations cartésiennes ci-dessous.

a) \(2x + y - 3 = 0\) b) \(-3x + 5y = 0\)
c) \(5x - 3y + 2 = 0\) d) \(-2x - 4y + 1 = 0\)

Pour chacune des équations de droites suivantes, déterminer un vecteur normal.

a) \(x = -2\) b) \(2x + 5y - 1 = 0\) c) \(y = \dfrac{1}{2}x + 2\)

Dans chacun des cas suivants, déterminer un vecteur normal à la droite donnée :

a) la droite d’équation cartésienne \(4x + 5y - 1 = 0\)
b) la droite d’équation cartésienne \(-2x + 7y = 0\)
c) la droite d’équation réduite \(y = -3x + 4\)
d) la droite d’équation réduite \(y = -5x + 3\)

Dans chacun des cas, donner une équation cartésienne de la droite passant par le point B et de vecteur normal \(\vec{n}\).

a) B\((4\,;\,1)\) et \(\vec{n}\)\(\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\) b) B\((2\,;\,3)\) et \(\vec{n}\)\(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\)

c) B\((-2\,;\,-1)\) et \(\vec{n}\)\(\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}\) d) B\((0\,;\,5)\) et \(\vec{n}\)\(\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\)

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point donné et de vecteur normal \(\vec{n}\) donné.

a) A\(\left(-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)\) et \(\vec{n}\)\(\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\)

b) G\(\left(\dfrac{3}{2}\,;\,-4\right)\) et \(\vec{n}\)\(\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}\)

c) D\((-\sqrt{3}\,;\,-1)\) et \(\vec{n}\)\(\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\)

On considère la droite \(d\) d’équation cartésienne \(3x+y-4=0\) et le point \(B(2\,;-3)\).

1. Donner un vecteur normal à la droite \(d\).
2. En déduire une équation de la droite perpendiculaire à \(d\) passant par B.
3. En déduire les coordonnées du point K, projeté orthogonal du point B sur la droite \(d\) donnée.

Dans chacun des cas suivants, donner une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à la droite \(d\) et passant par le point A donné.

1. \(d : x-3y+5=0\) et \(A(3\,;2)\)
2. \(d : 2x-3y+1=0\) et \(A(-3\,;-1)\)
3. \(d : 5x+3y=0\) et \(A(0\,;-2)\)
4. \(d : y=-3x+1\) et \(A(-2\,;0)\)