Produit scalaire dans le plan : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

On souhaite résoudre l’équation suivante dans \(\mathbb{R}\) : \[4\cos^{2} x-2(1+\sqrt{3})\cos x+\sqrt{3}=0 \qquad (1)\]

1) On effectue un changement de variable. On pose \(\text{X}=\cos x\) avec \(x \in [-1\,;1]\).

a) Quelle équation du second degré est équivalente à (1) ?

b) Montrer que son discriminant peut s’écrire : \(4(1-\sqrt{3})^{2}\).

c) Déterminer les solutions de cette équation du second degré.

2) En déduire les solutions de l^{\prime}équation (1) dans \(]-\pi\,;\pi]\) puis dans \(\mathbb{R}\).

\(d\), d’équation \(2x-8y+28=0\) est-elle la droite de vecteur normal \(\vec{n}\left(\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}\right)\) et passant par \(T(14\,;7)\) ?

Donner le rayon et les coordonnées du centre du cercle :

1) \(\mathscr{C}_1\) d^{\prime}équation \((x-2)^{2}+(y-5)^{2}=9\)

2) \(\mathscr{C}_2\) d’équation \((x+3)^{2}+(y-7)^{2}=5\)

Les droites suivantes sont-elles perpendiculaires ?

1) \((AB)\) et \((CD)\) avec \(A(1\,;-3)\), \(B(-1\,;5)\), \(C(-8\,;3)\) et \(D(7\,;7)\).

2) \((EF)\) et \(d_1\) d’équation \(x+2y-7=0\) avec \(E(1\,;7)\) et \(F(3\,;11)\).

3) \(d_2\) et \(d_3\) d’équation respective \(4x-8y-11=0\) et \(-2x-y=5\).

On considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan tels que \(AB=3\,\text{cm}\), \(AC=5\,\text{cm}\) et \(BC=6\,\text{cm}\).

1) Faire une figure.

2) Exprimer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\) en fonction de \(AB\), \(BC\) et \(AC\).

3) En déduire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\).

On considère trois points \(E\), \(F\) et \(G\) du plan tels que \(EF=8\), \(EG=6\) et \(FG=11\). Calculer :

1) \(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{FG}\) 2) \(\overrightarrow{FG} \cdot \overrightarrow{GE}\) 3) \(\overrightarrow{GF} \cdot \overrightarrow{FE}\)

On considère les vecteurs \(\vec{a}\left(\begin{pmatrix}2\\ 6\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{b}\left(\begin{pmatrix}-3\\ 5\end{pmatrix}\right)\).

1) Calculer \(\|\vec{a}\|\), \(\|\vec{b}\|\) et \(\|\vec{a}+\vec{b}\|\).

2) En déduire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Calculer les produits scalaires suivants :

1) \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\vec{u}\left(\begin{pmatrix}15\\ -8\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{v}\left(\begin{pmatrix}6\\ 9\end{pmatrix}\right)\)

2) \(\vec{s} \cdot \vec{t}\) avec \(\vec{s}\left(\begin{pmatrix}-1\\ -2\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{t}\left(\begin{pmatrix}-3\\ -4\end{pmatrix}\right)\)

3) \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) avec \(\vec{a}\left(\begin{pmatrix}\sqrt{3}-2\\ 6\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{b}\left(\begin{pmatrix}\sqrt{3}+2\\ 1\end{pmatrix}\right)\)

4) \(\vec{c} \cdot \overrightarrow{UV}\) avec \(\vec{c}\left(\begin{pmatrix}\sqrt{6}\\ 2\end{pmatrix}\right)\), \(U(\sqrt{24}+5\,;1)\) et \(V(5\,;\sqrt{2})\)

5) \(\vec{r} \cdot \overrightarrow{AB}\) avec \(\vec{r}\left(\begin{pmatrix}3\\ 7\end{pmatrix}\right)\), \(A(-1\,;2)\) et \(B(-3\,;6)\)

6) \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{MR}\) avec \(C(5\,;6)\), \(D(-1\,;4)\), \(M(3\,;7)\) et \(R(8\,;9)\)

7) \(\overrightarrow{ST} \cdot \overrightarrow{EF}\) avec \(E(0\,;1)\), \(F(3\,;0)\), \(S(8\,;8)\) et \(T(5\,;5)\)

On considère les vecteurs \(\vec{u}\left(\begin{pmatrix}-1\\ 5\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{v}\left(\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}\right)\). Calculer :

1) \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) 2) \((2\vec{u}) \cdot \vec{v}\) 3) \((-\vec{u}) \cdot (3\vec{v})\)

Écrire un algorithme :

• demandant à l’utilisateur de saisir les coordonnées de deux vecteurs dans un repère orthonormé ;
• donnant, en sortie, le produit scalaire de ces deux vecteurs.

On considère le rectangle \(EFGH\) ci-dessous, tel que \(EF=4\) et \(EH=7\), et les points \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\), milieux respectifs des côtés \([EF]\), \([FG]\), \([GH]\) et \([EH]\).

1) Reproduire la figure.

2) En choisissant un repère orthonormé adapté, calculer :

a) \(\overrightarrow{EG} \cdot \overrightarrow{FH}\) b) \(\overrightarrow{JL} \cdot \overrightarrow{EG}\) c) \(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GH}\) d) \(\overrightarrow{HF} \cdot \overrightarrow{EK}\) e) \(\overrightarrow{IL} \cdot \overrightarrow{IG}\) f) \(\overrightarrow{HJ} \cdot \overrightarrow{JK}\)

On considère les vecteurs \(\vec{u}\left(\begin{pmatrix}6\\ 7\end{pmatrix}\right)\), \(\vec{v}\left(\begin{pmatrix}x\\ 1\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{w}\left(\begin{pmatrix}-\sqrt{3}\\ y\end{pmatrix}\right)\) avec \(x\) et \(y\) réels.

1) Déterminer \(x\) tel que \(\vec{u} \cdot \vec{v}=11\).

2) Déterminer \(y\) tel que \(\vec{u} \cdot \vec{w}=\sqrt{12}\).

On considère les vecteurs \(\vec{u}\left(\begin{pmatrix}x\\ 2x\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{v}\left(\begin{pmatrix}x\\ 3\end{pmatrix}\right)\) avec \(x\) réel.

Déterminer, si elle(s) existe(nt), pour quelle(s) valeur(s) de \(x\), on a :

1) \(\vec{u} \cdot \vec{v}=-9\) 2) \(\vec{u} \cdot \vec{v}=-10\) 3) \(\vec{u} \cdot \vec{v}=2\) 4) \(\vec{u} \cdot \vec{v} \gt 7\)

On considère les points \(A(1\,;3)\), \(B(3\,;1)\), \(C(-2\,;-2)\), \(D(13\,;-5)\) et \(E(4\,;3)\).

1) Les droites \((AC)\) et \((AB)\) sont-elles perpendiculaires ?

2) Même question pour :

a) \((AC)\) et \((BD)\) b) \((BE)\) et \((CD)\)

On considère quatre points \(J(6\,;1)\), \(K(2\,;4)\), \(L(1\,;-5)\) et \(M\left(-\dfrac{5}{2}\,;-2\right)\).

1) Le triangle \(JKL\) est-il rectangle en \(J\) ?

2) Le triangle \(JKM\) est-il rectangle ?

On considère trois points \(A(\sqrt{6}\,;\sqrt{7})\), \(B(\sqrt{2}\,;\sqrt{3})\), \(C(-\sqrt{6}\,;\sqrt{7}+2\sqrt{3})\).

Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(B\).

On considère quatre points \(Q(2\,;-2)\), \(R(1\,;1)\), \(S(4\,;2)\) et \(T(5\,;-1)\).

Déterminer la nature du quadrilatère \(QRST\).

On considère trois points \(A(5{,}2\,;4)\), \(B(6\,;3{,}1)\) et \(C(1\,;y)\).

Déterminer \(y\) tel que \(ABC\) soit rectangle en \(A\).

On considère quatre points \(A(0\,;0)\), \(B(6\,;2)\), \(C(-1{,}5\,;4{,}5)\) et \(D\left(2{,}5\,;\dfrac{35}{6}\right)\).

Montrer que \(ABCD\) est un trapèze rectangle puis calculer son aire.

On considère deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées, d’équations \(y=ax+b\) et \(y=a^{\prime}x+b^{\prime}\).

1) Donner un vecteur directeur de chacune des deux droites.

2) En déduire la propriété suivante : Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à \(-1\).

3) Parmi les droites \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) d’équations respectives \(y=2x+3\), \(y=-2x+5\) et \(y=-\dfrac{1}{2}x-6\), lesquelles sont perpendiculaires ?

Démonstration d’une propriété algébrique

Prérequis. On supposera connue la propriété suivante. Soit \(\vec{u}\left(\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\right)\) et \(\vec{v}\left(\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix}\right)\) dans un repère orthonormé. On a \(\vec{u} \cdot \vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}\).

Question. Montrer que, pour tous réels \(k\) et \(k^{\prime}\), et tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan, on a : \[(k\vec{u}) \cdot (k^{\prime}\vec{v})=(k \times k^{\prime})\,\vec{u} \cdot \vec{v}.\]

Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec :

1) \(\|\vec{u}\|=5\), \(\|\vec{v}\|=2\) et \(\cos(\vec{u}\,;\vec{v})=0{,}1\)

2) \(\|\vec{u}\|=23\), \(\|\vec{v}\|=11\) et \(\cos(\vec{u}\,;\vec{v})=0{,}93\)

3) \(\|\vec{u}\|=5\), \(\|\vec{v}\|=8\) et \((\vec{u}\,;\vec{v})=\dfrac{\pi}{6}\) \((2\pi)\)

4) \(\|\vec{u}\|=7\), \(\|\vec{v}\|=2\) et \((\vec{u}\,;\vec{v})=\dfrac{5\pi}{3}\) \((2\pi)\)

5) \(\|\vec{u}\|=12\), \(\|\vec{v}\|=6\) et \((\vec{u}\,;\vec{v})=-\dfrac{\pi}{4}\) \((2\pi)\)

6) \(\|\vec{u}\|=9\), \(\|\vec{v}\|=6\) et \(\vec{u}=-1{,}5\vec{v}\)

Calculer \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) avec :

1) \(\|\vec{a}\|=\dfrac{5}{6}\), \(\|\vec{b}\|=\dfrac{\sqrt{3}}{8}\) et \((\vec{a}\,;\vec{b})=-\dfrac{5\pi}{6}\) \((2\pi)\)

2) \(\|\vec{a}\|=\sqrt{2}\), \(\|\vec{b}\|=6\) et \((\vec{a}\,;\vec{b})=\dfrac{\pi}{4}\) \((2\pi)\)

3) \(\|\vec{a}\|=2\sqrt{2}\), \(\|\vec{b}\|=\sqrt{8}\) et \((\vec{a}\,;\vec{b})=\pi\) \((2\pi)\)

4) \(\|\vec{a}\|=\sqrt{2}+1\) et \(\vec{b}=\sqrt{3}\vec{a}\)

Projection de deux points sur une droite

Soit \(C\) et \(D\) deux points distincts, extérieurs à une droite \((AB)\) et \(C^{\prime}\) et \(D^{\prime}\) les projetés orthogonaux respectifs de \(C\) et \(D\) sur \((AB)\).

1. Montrer l’égalité vectorielle :
   \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CC^{\prime}}+\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}+\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{D^{\prime}D}\).
2. En déduire que \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C^{\prime}D^{\prime}}\).

On considère le carré \(EFGH\) de côté \(a\) ci-dessous.

Dans ce carré, \(A\) est le milieu de \([EF]\), \(B\) le milieu de \([FG]\), \(C\) le milieu de \([GH]\), \(D\) le milieu de \([HE]\) et \(O\) est le centre de \(EFGH\).

En utilisant la méthode de votre choix, exprimer les produits scalaires suivants en fonction de \(a\) :

1. \(\overrightarrow{HO} \cdot \overrightarrow{HF}\)
2. \(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EB}\)
3. \(\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{GE}\)
4. \(\overrightarrow{EO} \cdot \overrightarrow{FE}\)
5. \(\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{FH}\)
6. \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA}\)
7. \(\overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OB}\)
8. \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CO}\)
9. \(\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EG}\)

On considère l’hexagone régulier \(ABCDEF\) de centre \(O\) et de côté 1 ci-dessous.

En utilisant la méthode de votre choix, calculer les produits scalaires suivants :

1. \(\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{FO}\)
2. \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\)
3. \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OF}\)
4. \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{FA}\)
5. \(\overrightarrow{OF} \cdot \overrightarrow{OD}\)
6. \(\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{FB}\)
7. \(\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{DF}\)
8. \(\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CA}\)
9. \(\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CO}\)

Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec :

1. \(\Vert\vec{u}\Vert=5\), \(\Vert\vec{v}\Vert=6\) et \(\Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert=10\)
2. \(\Vert\vec{u}\Vert=3\sqrt{5}\) et \(\vec{v}=\vec{u}\)
3. \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix}\)
4. \(\Vert\vec{u}\Vert=\sqrt{2}\), \(\Vert\vec{v}\Vert=5\) et \((\vec{u}\,;\,\vec{v})=\dfrac{3\pi}{4}\ (2\pi)\)
5. \(\Vert\vec{u}\Vert=8\) et \(\vec{v}=-2\vec{u}\)

On considère le carré \(ABCD\) ci-dessous de côté 1 et \(I\), \(J\), \(K\) et \(L\) les milieux des côtés.

Associer chacun des produits scalaires avec le calcul ou le résultat auquel il est égal.

• \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BL}\)
• \(\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}\)
• \(\overrightarrow{KJ} \cdot \overrightarrow{KL}\)
• \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{LK}\)

• \(AB \times AI\)
• \(-IB \times IA\)
• \(BC \times BJ\)
• \(0\)

Donner un vecteur normal aux droites suivantes :

1. \(d_1\) d’équation \(65x-12y+6=0\)
2. \(d_2\) d’équation \(y=3x-2\)
3. \(d_3\) d’équation \(-8x=-y+2\)
4. \((AB)\) avec \(A(4\,;\,3)\) et \(B(6\,;\,12)\)

Quels sont les produits scalaires \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) égaux à \(-2\) ?

1. \(AB=2\), \(AC=3\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\pi\).
2. \(AB=4\), \(\overrightarrow{HB}=\dfrac{33}{8}\overrightarrow{AB}\) où \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\).
3. \(AB=5\), \(AC=4\) et \(BC=6\).
4. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Soient deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) tels que \(\Vert\vec{u}\Vert=4\), \(\Vert\vec{v}\Vert=5\) et \(\Vert\vec{u}-\vec{v}\Vert=1\). Alors :

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v}=20\)
2. \(\vec{u} \cdot \vec{v}=4\)
3. \((\vec{u},\vec{v})=0\)
4. \(\Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert=9\)

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). Alors :

1. \(\Vert\vec{u}\Vert=\dfrac{\sqrt{17}}{2}\)
2. \(\Vert\vec{v}\Vert^2=5\)
3. \(\vec{u} \cdot \vec{v}=8\)
4. \(\vec{v} \cdot \vec{u}=4\)

Le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à la droite d^{\prime}équation :

1. \(4x-2y+10=0\)
2. \(-2x-4y+5=0\)
3. \(8x+4y=0\)
4. \(\dfrac{1}{2}y-x-7=0\)

VRAI / FAUX Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs. Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Si \(\vec{u} \cdot \vec{v}=0\), alors \(\vec{u}=\vec{0}\) ou \(\vec{v}=\vec{0}\).
2. Si les normes des deux vecteurs sont des nombres entiers, alors leur produit scalaire est aussi un nombre entier.

VRAI / FAUX

1. Si \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=0\), alors \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD}=0\).
2. Si \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} \lt 0\) alors \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\).
3. Si \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\), alors les points C et D sont confondus.

Quelles sont les informations sur les points A, B et C données par les produits scalaires suivants ?

1. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\)
2. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AC^2\)
3. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC\)
4. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB \times AC\)
5. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB^2\)

Déterminer à l’aide des équations des droites suivantes les coordonnées de deux vecteurs normaux à cette droite.

1. \(4x-5y+10=0\)
2. \(x+3y-5=0\)
3. \(\dfrac{1}{2}x-8y=0\)
4. \(\dfrac{4}{3}y-6x=12\)

Donner la valeur exacte.

1. \(AB=2\), \(AC=6\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{4}\)
2. \(AB=\sqrt{3}\), \(AC=1\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{6}\)
3. \(AB=5\), \(AC=\dfrac{3}{4}\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{2\pi}{3}\)

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs. Simplifier les expressions suivantes.

1. \((3\vec{u}) \cdot (2\vec{v})\)
2. \(\left(\dfrac{7}{3}\vec{u}\right) \cdot (-6\vec{v})\)
3. \(\vec{u} \cdot (\vec{u}-\vec{v})\)
4. \((\vec{u}+\vec{v})^2\)

On considère un carré ABCD de centre O et de côté \(c\). Calculer les produits scalaires suivants.

1. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
2. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO}\)
3. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\)
4. \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}\)
5. \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AB}\)
6. \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AC}\)
7. \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{OC}\)

Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par le point A et de vecteur normal \(\vec{n}\).

1. \(A(2\,;\,-1)\) et \(\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
2. \(A(0\,;\,-5)\) et \(\vec{n}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix}\)
3. \(A(\sqrt{2}\,;\,-3)\) et \(\vec{n}\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}\)
4. \(A(-1\,;\,-3)\) et \(\vec{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Calculer la norme de chacun des vecteurs suivants.

1. \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
2. \(\vec{v}\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}\)
3. \(\vec{w}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O tel que \(OA=2\) cm. Calculer les produits scalaires suivants.

1. \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\)
2. \(\overrightarrow{OF} \cdot \overrightarrow{OE}\)
3. \(\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OA}\)
4. \(\overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OC}\)

On considère le rectangle ABCD ci-après. E, F, G et H sont respectivement les milieux des côtés [BC], [CD], [DA] et [AB]. O est l’intersection des diagonales du rectangle. Apparier chaque expression du produit scalaire avec son expression simplifiée.

• \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
• \(\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AF}\)
• \(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AB}\)
• \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AF}\)

• \(\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AB}\)
• \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD}\)
• \(\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AD}\)
• \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}\)

On considère le rectangle ABCD ci-après. E, F, G et H sont respectivement les milieux des côtés [BC], [CD], [DA] et [AB]. O est l’intersection des diagonales du rectangle. Apparier chaque expression du produit scalaire avec son expression simplifiée.

• \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
• \(\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AF}\)
• \(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AB}\)
• \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AF}\)

• \(\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AB}\)
• \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD}\)
• \(\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{AD}\)
• \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}\)

On considère les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans le repère orthonormé suivant. En lisant graphiquement les coordonnées des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), calculer leur norme puis le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

On définit le travail \(W\), exprimé en joule, d’une force \(\vec{F}\), en newton, sur un déplacement rectiligne \(AB\), en mètre, par le produit scalaire \(\vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}\).

EN PHYSIQUE

La famille Sardin part en vacances. Elle a une caravane accrochée derrière sa voiture et elle roule sur une route de montagne de 10 km, inclinée d’un angle de \(5^{\circ}\) par rapport à l^{\prime}horizontale.

La traction de la caravane est modélisée par une force \(\vec{F}\) d’intensité 15 000 newtons, inclinée d’un angle de \(9^{\circ}\) par rapport à l^{\prime}horizontale. Calculer le travail de la force \(\vec{F}\) le long de cette route. Donner l’écriture scientifique du résultat en faisant attention aux chiffres significatifs.

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ x \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) deux vecteurs du plan avec \(x \in \mathbb{R}\). Déterminer la valeur de \(x\) pour obtenir :

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v}=2\)
2. \(\vec{u} \cdot \vec{v}=-5\)
3. \(\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{7}{3}\)
4. \(\vec{u} \cdot \vec{v}=\sqrt{8}\)

On applique deux forces \(\vec{F_1}\) et \(\vec{F_2}\) à un solide que l’on assimile à un point \(O\). On note \(\vec{F}\) la résultante de ces deux forces.

1. Quel est le lien entre les vecteurs \(\vec{F}\), \(\vec{F_1}\) et \(\vec{F_2}\) ?
2. Sachant que \(F_1=15\) N, \(F_2=13\) N et que \((\vec{F_1},\vec{F_2})=40^{\circ}\), déterminer l^{\prime}intensité de la résultante \(\Vert\vec{F}\Vert\). Arrondir le résultat au dixième.

Déterminer les éventuelles valeurs du réel \(x\) pour lesquelles les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.

1. \(\vec{u}\begin{pmatrix}6\\x\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\)
2. \(\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\x\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x-1\\4\end{pmatrix}\)
3. \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\8\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x\\-2\end{pmatrix}\)
4. \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x\\8\end{pmatrix}\)

On rappelle que \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\).

1. a. Démontrer que \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\).
   b. En déduire la formule :
   \[\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\right).\]
2. En raisonnant de même, démontrer les formules suivantes.
   a. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\).
   b. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\).