Nombre dérivé et équation de tangente : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « nombre dérivé et équation de tangente », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet ouvre le chapitre de dérivation. D’abord, tu observes des sécantes qui se rapprochent d’une droite limite, la tangente. Ensuite, tu calcules des taux de variation entre \(a\) et \(a + h\), puis leur limite quand \(h\) tend vers 0 : c’est le nombre dérivé.
Tu lis aussi trois nombres dérivés sur un graphique et tu écris l’équation de tangente \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\). Enfin, un tremplin de BMX te montre à quoi sert une tangente dans la vie réelle. Fais ce contrôle quand la définition du nombre dérivé est comprise, avant d’aborder les formules de dérivées et l’étude des variations, car tout se fait ici à la main.
Ce qu’évalue le contrôle : nombre dérivé et équation de tangente
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Dérivation (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer le taux de variation d’une fonction entre a et a + h, puis sa limite quand h tend vers 0
- Lire graphiquement un nombre dérivé comme coefficient directeur d’une tangente
- Écrire l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point
- Interpréter la tangente comme position limite des sécantes
- Utiliser une tangente pour modéliser une situation concrète
Avant de commencer le devoir
Dans chaque calcul de taux, écris d’abord \(f(a + h)\) développé, puis soustrais \(f(a)\) entre parenthèses. Ensuite, factorise par \(h\) avant de simplifier, car \(h\) est non nul. Sur le graphique, choisis deux nœuds du quadrillage situés sur la tangente, et non sur la courbe. Enfin, vérifie chaque équation de tangente : le point de contact doit la vérifier.
Le sujet du contrôle : nombre dérivé et équation de tangente
Exercice 1 – Des sécantes à la tangente (3 points)
On note \(p\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(p(x) = x^2\) et \(C_p\) sa courbe. Le point \(A(1\,;\,1)\) est sur \(C_p\). Pour un réel \(h \neq 0\), on place alors le point \(M\) de \(C_p\) d’abscisse \(1 + h\). Ainsi, sur la figure, les points \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) correspondent à \(h = 2\), \(h = 1\) et \(h = 0{,}5\). La droite en pointillés est la tangente à \(C_p\) en \(A\).
- Calcule le coefficient directeur de chacune des droites \((AM_1)\), \((AM_2)\) et \((AM_3)\).
- Montre que, pour tout \(h \neq 0\), le coefficient directeur de \((AM)\) vaut \(2 + h\).
- Déduis-en \(p^{\prime}(1)\), puis l’équation de la tangente en pointillés.
Exercice 2 – Taux de variation et limite (4 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 – 3x + 1\). Dans tout l’exercice, \(h\) désigne un réel non nul.
- Calcule \(f(2)\).
- Développe \(f(2 + h)\), puis montre que \(f(2 + h) – f(2) = h^2 + h\).
- Exprime ensuite le taux de variation de \(f\) entre 2 et \(2 + h\). Donne sa limite quand \(h\) tend vers 0, puis conclus sur la dérivabilité de \(f\) en 2.
- On considère aussi la fonction cube \(k(x) = x^3\). Sachant que \((1 + h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3\), démontre que \(k\) est dérivable en 1 et donne \(k^{\prime}(1)\).
Exercice 3 – Trois tangentes à lire (5 points)
La courbe \(C_f\) d’une fonction \(f\) dérivable sur \([-1\,;\,5]\) est tracée ci-dessous. Elle passe notamment par les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’abscisses respectives 0, 2 et 4. De plus, les droites \(T_A\), \(T_B\) et \(T_C\) sont les tangentes à \(C_f\) en ces points. Chaque tangente passe par au moins un autre nœud du quadrillage.
- Lis d’abord \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\).
- Par lecture graphique, détermine \(f^{\prime}(0)\), \(f^{\prime}(2)\) et \(f^{\prime}(4)\). Explique ta méthode pour l’une des trois valeurs.
- Écris une équation de \(T_A\), puis une équation de \(T_B\).
- Les droites \(T_A\) et \(T_C\) sont-elles parallèles ? Justifie à l’aide des nombres dérivés.
- Le point \(D(10\,;\,14)\) appartient-il à \(T_C\) ? Justifie par un calcul.
Exercice 4 – Tangente à l’hyperbole (4 points)
Soit \(g\) la fonction inverse, définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = \frac{1}{x}\), et \(A\) le point de sa courbe d’abscisse 2.
- Montre que, pour tout réel \(h\) non nul avec \(h > -2\), le taux de variation de \(g\) entre 2 et \(2 + h\) vaut \(\frac{-1}{2(2 + h)}\).
- Déduis-en \(g^{\prime}(2)\), puis une équation de la tangente \(T\) à la courbe en \(A\).
- La droite \(T\) coupe l’axe des abscisses en \(P\) et l’axe des ordonnées en \(Q\). Détermine alors les coordonnées de ces deux points.
- Calcule enfin l’aire du triangle \(OPQ\), où \(O\) est l’origine du repère orthonormé.
Exercice 5 – Le tremplin de Yanis (4 points)
Yanis construit un tremplin pour son vélo de BMX. Vu de profil, dans un repère dont l’unité est le mètre, le tremplin est la courbe de la fonction \(t\) définie sur \([0\,;\,4]\) par \(t(x) = \frac{x^2}{8}\). Le vélo quitte le tremplin au sommet \(S\), d’abscisse 4. On admet que, juste après le saut, le vélo suit la tangente à la courbe en \(S\). Or, une barrière de \(3{,}5\) m de haut se dresse à l’abscisse 6.
- Calcule la hauteur du sommet \(S\).
- À l’aide du taux de variation entre 4 et \(4 + h\), montre que \(t^{\prime}(4) = 1\).
- Donne alors une équation de la tangente à la courbe en \(S\).
- Avec ce modèle, le vélo passe-t-il au-dessus de la barrière ? Si oui, avec quelle marge ?
Réviser nombre dérivé et équation de tangente avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon dérivée d’une fonction ; entraîne-toi sur la fiche dérivée avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «nombre dérivé et équation de tangente : contrôle de maths en première» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Première
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
