Produit scalaire et calculs d’angles : contrôle de maths en première

Accueil >> Contrôles de maths >> Contrôles en 1ère >> Produit scalaire et calculs d’angles : contrôle de maths en première
Produit scalaire et calculs d'angles – Contrôle de maths niveau Première sur Maths-pdf.fr Couverture : Livre de contrôles corrigés de maths 1re en PDF Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en 1re PDF à imprimer Voir le livre ›

Voici un contrôle de maths en première sur le thème « produit scalaire et calculs d’angles », avec son barème et un corrigé détaillé.

Ce sujet porte sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan et sur son usage pour mesurer des angles. D’abord, tu calcules des produits scalaires de trois façons : avec les normes et le cosinus, avec le projeté orthogonal, puis avec les coordonnées dans un repère orthonormé. Ensuite, tu développes des expressions et tu utilises la norme d’une somme de vecteurs.

Enfin, le dernier exercice te demande de retrouver les angles d’un triangle à partir de coordonnées, comme on le ferait pour tailler une vraie voile. Propose-toi ce contrôle à la fin du chapitre, quand les trois expressions du produit scalaire sont bien en place, car chaque exercice les mélange.

Ce qu’évalue le contrôle : produit scalaire et calculs d’angles

L’essentiel du sujet

  • Niveaupremière
  • Durée1 heure 30 minutes
  • Calculatriceautorisée
  • Barèmesur 20

Chapitre : Produit scalaire (5 exercices)

Ce que ce devoir vérifie :

  • Calculer un produit scalaire avec les normes et le cosinus de l’angle formé par deux vecteurs
  • Utiliser le projeté orthogonal d’un point pour obtenir un produit scalaire dans une figure
  • Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées dans un repère orthonormé
  • Développer un produit scalaire et exploiter la norme d’une somme de vecteurs
  • Déterminer la mesure d’un angle géométrique à partir d’un produit scalaire

Avant de commencer le devoir

Commence par l’exercice 1 : ses quatre calculs courts te rappellent les formules utiles pour la suite. Avant chaque calcul, demande-toi quelle expression convient : une figure codée appelle souvent le projeté orthogonal, tandis que des coordonnées appellent la formule \(xx^{\prime} + yy^{\prime}\). Surveille aussi le signe : deux vecteurs de sens contraires donnent un produit négatif. Enfin, vérifie qu’un cosinus reste entre \(-1\) et \(1\) et que la calculatrice est bien réglée en degrés.

Le sujet du contrôle : produit scalaire et calculs d’angles

Exercice 1 – Automatismes sur le produit scalaire (4 points)

Les quatre questions sont indépendantes. Le plan est muni d’un repère orthonormé, donc les formules avec les coordonnées s’appliquent.

  1. On sait que \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 4\) et que l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) mesure \(\frac{\pi}{3}\) radian. Calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (1 point)
  2. Soit \(\vec{u}\left(2 \,;\, -3\right)\) et \(\vec{v}\left(5 \,;\, 4\right)\). Donne la valeur de \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (1 point)
  3. Soit \(\vec{u}\left(4 \,;\, -6\right)\) et \(\vec{v}\left(3 \,;\, k\right)\), où \(k\) est un réel. Trouve \(k\) pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux. (1 point)
  4. On a maintenant \(\|\vec{u}\| = 5\), \(\|\vec{v}\| = 2\) et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -5\). Déduis-en une mesure en radians de l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). (1 point)

Exercice 2 – Le carré et ses milieux (4 points)

\(ABCD\) est un carré de côté 6 cm. Le point \(I\) est le milieu de \([AB]\) et le point \(J\) est le milieu de \([BC]\). On trace ensuite les segments \([DI]\) et \([AJ]\).

Carré ABCD de côté 6 cm, avec I milieu de [AB], J milieu de [BC] et les segments [DI] et [AJ] tracés

La figure n’est pas à l’échelle.

  1. Calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) en utilisant un projeté orthogonal. (1 point)
  2. Détermine \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\), puis justifie le signe obtenu. (1 point)
  3. Calcule \(\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AC}\). (1 point)
  4. Écris \(\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ}\), puis développe \(\overrightarrow{DI} \cdot \overrightarrow{AJ}\). Que peux-tu alors dire des droites \((DI)\) et \((AJ)\) ? (1 point)

Exercice 3 – Le triangle et son projeté orthogonal (4 points)

Dans le triangle \(ABC\) ci-dessous, \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\) et il appartient au segment \([AB]\). De plus, on donne \(AB = 8\), \(AH = 3\) et \(CH = 4\) (en centimètres).

Triangle ABC avec la hauteur [CH] en pointillés, angle droit en H, AB égal 8, AH égal 3 et CH égal 4
  1. Calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\). (1 point)
  2. Déduis-en aussi \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\) en calculant d’abord la longueur \(BH\). (1 point)
  3. Calcule \(AC\), puis donne une mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré. (1 point)
  4. Trouve de même la valeur exacte de \(BC\), puis une mesure de \(\widehat{ABC}\) arrondie au dixième de degré. (1 point)

Exercice 4 – Normes et développements (4 points)

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) vérifient \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 5\) et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -6\). Ici, aucun repère n’est donné : il faut donc travailler avec les propriétés du produit scalaire.

  1. Développe \(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2\), puis donne la valeur exacte de \(\|\vec{u} + \vec{v}\|\). (1 point)
  2. Calcule de la même façon \(\|\vec{u} – \vec{v}\|^2\). (1 point)
  3. Développe et calcule \(\left(2\vec{u} + \vec{v}\right) \cdot \left(\vec{u} – 3\vec{v}\right)\). (1 point)
  4. Détermine le réel \(t\) tel que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{u} + t\vec{v}\) soient orthogonaux. (1 point)

Exercice 5 – La voile du catamaran (4 points)

Noémie dessine la grand-voile de son catamaran dans un repère orthonormé où une unité représente un mètre. La voile est le triangle de sommets \(A\left(1 \,;\, 2\right)\), \(B\left(9 \,;\, 3\right)\) et \(C\left(4 \,;\, 6\right)\). Avant de commander la toile, elle veut connaître les trois angles de la voile, car le voilier les demande pour renforcer les coins.

Repère orthonormé quadrillé avec le triangle de voile de sommets A(1 ; 2), B(9 ; 3) et C(4 ; 6)
  1. Donne les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\). (1 point)
  2. Calcule les longueurs \(AB\) et \(AC\) en mètres, en valeur exacte. (1 point)
  3. Déduis-en une mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré. (1 point)
  4. Calcule enfin \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\), une mesure de \(\widehat{ABC}\) au dixième de degré, puis celle de \(\widehat{ACB}\). Le coin \(C\) est-il un angle aigu ? (1 point)

Voir le corrigé du contrôle : produit scalaire et calculs d'angles (première)

Réviser produit scalaire et calculs d’angles avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon produit scalaire dans le plan ; entraîne-toi sur la fiche produit scalaire dans le plan avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.

Sujets proches à faire ensuite

Voter.. post
Couverture : Livre de contrôles corrigés de maths 1re en PDF Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en 1re PDF à imprimer Voir le livre ›
Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «produit scalaire et calculs d'angles : contrôle de maths en première» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Produit scalaire et calculs d’angles : contrôle de maths en première corrigé en PDF

Ressources de maths en Première

Cours

Tout voir

Exercices corrigés

Tout voir

Contrôles

Tout voir

QCM

Tout voir

Nombre de fichiers PDF téléchargés.  Maths PDF c'est 16 216 933 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.

Télécharger les manuels scolaires de maths en PDF du CP à la Terminale