Second degré et polynômes : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Le tableau de valeurs ci-dessous est celui d’une fonction du second degré \(f\).

1. Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?
2. Déterminer la forme canonique de \(f\).

Étudier les variations de chacune des fonctions du second degré définies sur \(\mathbb{R}\) par les expressions suivantes.

1. \(f_{1}(x) = (x - 1)^{2} + 10\)
2. \(f_{2}(x) = -2(x - 5)^{2} + 2\)
3. \(f_{3}(x) = 3x^{2} + \dfrac{1}{3}\)
4. \(f_{4}(x) = -2(x + 3)^{2} - 5\)

Étudier les variations de chacune des fonctions du second degré définies sur \(\mathbb{R}\) par les expressions suivantes.

1. \(f_{1}(x) = x^{2} - x + 1\)
2. \(f_{2}(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 5)(x + 3)\)
3. \(f_{3}(x) = \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{4}{3}\)
4. \(f_{4}(x) = 3x^{2} - 6x + 3\)

Déterminer la fonction du second degré correspondant aux tableaux de variations suivants et aux valeurs données.

1) \(f(0) = 1\)

2) \(g(1) = 0\)

Donner le nombre de solutions des équations suivantes.

1. \(x^{2} + x + 1 = 0\)
2. \(-2x^{2} + x + 1 = 0\)
3. \(\dfrac{1}{2}x^{2} - 4x - \dfrac{3}{2} = 0\)
4. \(\sqrt{2}x^{2} - x + \dfrac{1}{2} = 0\)

Donner le nombre de solutions des équations suivantes suivant la valeur du paramètre réel \(m\).

1. \(x^{2} + mx + 1 = 0\)
2. \(x^{2} - 2x + 3m = 0\)

Résoudre les équations suivantes.

1. \(x^{2} + x - 2 = 0\)
2. \(-3x^{2} + 2x - 1 = 0\)
3. \(\dfrac{3}{4}x^{2} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{8} = 0\)
4. \(-3x^{2} - 1 = 0\)

Résoudre les équations suivantes.

1. \(-x^{2} + 3 - 4x = 0\)
2. \(x^{2} + \dfrac{1}{2}x = 0\)
3. \(4x^{2} + 2x - \dfrac{1}{2} = 0\)
4. \(x\,(4x^{2} + x + 1) = 0\)

Factoriser, si possible, les trinômes du second degré suivants en un produit de polynômes de degré 1.

1. \(x^{2} + 3x - 4\)
2. \(x^{2} + 4\)
3. \(3x^{2} - 3x + 1\)
4. \(-x^{2} + 4x\)

Le nombre \(a\) est-il racine du trinôme \(P(x)\) ?

1. \(a = 1\) ; \(P(x) = 8x^{2} - 7x - 1\)
2. \(a = 0\) ; \(P(x) = -x^{2} + 2x - 1\)
3. \(a = -2\) ; \(P(x) = x^{2} - 2x - 4\)
4. \(a = 2\) ; \(P(x) = x^{2} + x + 2\)

À l’intérieur d’un jardin carré dont la longueur du côté est 10 mètres, un jardinier souhaite installer, le long du bord, une allée en graviers de largeur constante. Comment faire en sorte que l’aire de l’allée soit égale à celle du carré intérieur ?

Un tennisman frappe droit devant lui une volée à 1 m du filet alors que la balle est à 0,9 m de hauteur en \(A\). La balle franchit le filet en \(B\) à une hauteur de 1,1 m et atteint en \(C\) une hauteur maximale de 1,3 m.

La longueur d’un terrain de tennis est 23,77 m.

La balle sortira-t-elle du cours ?

Un designer doit réaliser un logo pour une entreprise. Il veut créer la partie blanche de la figure ci-dessous, située à l’intérieur du demi-disque de diamètre \([BC]\) et à l’extérieur des demi-disques de diamètre \([CM]\) et \([MB]\) où \(M\) est un point quelconque du segment \([BC]\).

On a \(BC = 10\ \text{cm}\) et on pose \(x = CM\).

Le designer doit faire en sorte que l’aire de la partie blanche soit égale à la moitié de l’aire du demi-disque de diamètre \([BC]\).

Comment doit-il positionner le point \(M\) ?

Soit \(C_{f}\) la courbe représentative ci-contre d’une fonction \(f\) du second degré.

Résoudre graphiquement l’inéquation :

1. \(f(x) \gt 0\)
2. \(f(x) \leqslant 2\)

Résoudre les inéquations du second degré suivantes sur \(\mathbb{R}\).

1. \(\dfrac{1}{2}x^{2} + 7x - 3 \gt 0\)
2. \(-3x^{2} + 4x + 1 \leqslant 0\)
3. \(-2x^{2} - 9 \geqslant 0\)
4. \(2x^{2} - 4x \lt 0\)

Résoudre les inéquations suivantes sur \(I\).

1. \(2x^{2} + 8x \gt 4\) ; \(I = \mathbb{R}\)
2. \(x^{3} - 4x^{2} + 2x - 1 \leqslant x^{3} + 3x^{2} + 2x + 48\) ; \(I = \mathbb{R}\)
3. \(\dfrac{1}{x^{2} - 1} - \dfrac{1}{x + 1} \lt 1\) ; \(I = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,1\}\)
4. \(\dfrac{x^{2} + x + 1}{x - 4} \geqslant 0\) ; \(I = \mathbb{R} \setminus \{4\}\)

Résoudre les inéquations suivantes sur \(\mathbb{R}\).

1. \(x^{2} - 4 \gt 3x\) ; \(I = \mathbb{R}\)
2. \(2x^{2} - x + 1 \leqslant x^{2} + 3x - 4\) ; \(I = \mathbb{R}\)
3. \(\dfrac{1}{x - 4} - \dfrac{1}{x - 3} \lt \dfrac{1}{2}\) ; \(I = \mathbb{R} \setminus \{3\,;\,4\}\)
4. \(\dfrac{x + 1}{2x^{2} - 5x - 4} \lt 0\) ; \(I = \mathbb{R}\)

Soit \(C_{f}\) et \(C_{g}\) les courbes représentatives de deux fonctions du second degré \(f\) et \(g\).

1. Résoudre graphiquement :
   1. \(f(x) \geqslant 0\)
   2. \(f(x) \gt g(x)\)
2. Donner, à l’aide du graphique, la position relative des courbes \(C_{f}\) et \(C_{g}\).

Un pont est soutenu par un arc parabolique d’une portée de 200 m et d’une hauteur de 80 m. Le pont et l’arc se coupent à 40 m de la rive.

Quelle est la hauteur du pont ?

Dans chacun des cas suivants, le nombre \(a\) est-il solution de l’équation ?

1. \(a = 1\) ; \(2x - 1 = 0\)
2. \(a = 2\) ; \(2x^{2} + 2x - 6 = 0\)
3. \(a = 0\) ; \(x^{2} - 2x = 0\)
4. \(a = -1\) ; \(2x^{2} + x - 1 = 0\)
5. \(a = 3\) ; \((2x - 6)(x - 1) = 0\)
6. \(a = -2\) ; \(-2x^{2} - 1 = 0\)

Dans chacun des cas suivants, quel est le nombre de solutions de l’équation ?

1. \(3x^{2} + x - 2 = 0\)
2. \(3x^{2} + 2 = 0\)
3. \(x^{2} - x = 0\)
4. \(2(x - 1)^{2} = 0\)

Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions du second degré ? Si oui, donner leurs coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).

1. \(f_{1}(x) = (x - 3)(5 - 2x)\)
2. \(f_{2}(x) = 2x^{2} + 3\sqrt{x} - 1\)
3. \(f_{3}(x) = \sqrt{7}x^{2} - 3x + \dfrac{1}{2}\)
4. \(f_{4}(x) = 3x - 1 - 2x^{2}\)

Les expressions suivantes sont-elles des trinômes du second degré ? Si oui, préciser les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).

1. \(\dfrac{3}{4}(x + 4)^{2} + 1\)
2. \(3x^{3} - 2x^{2} + x + \dfrac{3}{2}\)
3. \(\dfrac{x^{2} + 3x + 1}{2}\)
4. \((2x - 1)^{2} + (2 - 3x)^{2}\)

Mettre sous forme canonique les fonctions polynômes suivantes.

1. \(f(x) = \dfrac{1}{2}\left((x - 3)^{2} + 4\right)\)
2. \(g(x) = (x - 3)^{2} + (1 - 2x)^{2}\)
3. \(h(x) = 2(x - 1)(x + 3)\)
4. \(k(t) = 2t^{2} + 8t + 8\)

On considère la fonction du second degré \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} - 5x + \dfrac{39}{2}\).

1. Montrer que la forme canonique de \(f\) est : \(f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 5)^{2} + 7\).
2. En déduire le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

On considère la fonction du second degré \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = \dfrac{2}{3}x^{2} + \dfrac{16}{3}x + \dfrac{17}{3}\).

Marina, Hicham, Sophie et Joël, quatre élèves de 1^re S proposent leur réponse.

Marina : \(f(x) = \dfrac{2}{3}(x - 4)^{2} - 5\)

Hicham : \(f(x) = \dfrac{2}{3}(x + 4)^{2} - 5\)

Sophie : \(f(x) = \dfrac{2}{3}(x - 4) - 5\)

Joël : \(f(x) = 2(x + 4)^{2} - 5\)

Leur professeur dit « Je peux éliminer trois réponses sans faire de calculs ».

Quelles réponses peuvent être éliminées sans faire de calcul ?

Associer les courbes \(C_{1}\), \(C_{2}\), \(C_{3}\) et \(C_{4}\) des fonctions du second degré suivantes à leur forme canonique en justifiant.

1. \(f_{1}(x) = (x - 1)^{2} + 2\)
2. \(f_{2}(x) = -(x + 1)^{2} + 2\)
3. \(f_{3}(x) = (x + 1)^{2} + 2\)
4. \(f_{4}(x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)^{2} + 2\)

La parabole ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction \(f\). Déterminer la forme canonique de \(f\).

Compléter dans chaque cas.

1. \(x^2-6x+9=(x-\ldots)^2\) donc \(x^2-6x=(x-\ldots)^2-\ldots\)
2. \(x^2+4x+4=(x+\ldots)^2\) donc \(x^2+4x=(x+\ldots)^2-4\)
3. \(x^2+2x=(x+\ldots)^2-\ldots\)
4. \(x^2-2x=(x-\ldots)^2-\ldots\)

À chacun des trinômes du second degré suivants, associer sa forme canonique.

Les expressions suivantes peuvent-elles être la forme canonique d'une fonction \(f\) du second degré ? Si oui préciser \(a\), \(\alpha\) et \(\beta\).

1. \(f_1(x)=x^2+3\)
2. \(f_2(x)=(x-1)+2\)
3. \(f_3(x)=\left(x+\sqrt{5}\right)^2\)
4. \(f_4(x)=(x+1)^2-(x-2)^2\)

1. Résoudre l'équation \(x^2-3x+2=0\).
2. Réaliser le tableau de signes du trinôme \(x^2-3x+2\).
3. Résoudre l'inéquation \(x^2-3x+2\gt 0\).

Les fonctions suivantes sont-elles du second degré ? Si oui, préciser \(a\), \(b\) et \(c\) les coefficients du trinôme.

1. \(f_1(x)=2x^2+3\)
2. \(f_2(x)=2x^3+3x\)
3. \(f_3(x)=\dfrac{-x^2+4x+2}{3}\)
4. \(f_4(x)=\dfrac{1}{2}+x^2-4x\)

Les courbes correspondant aux équations suivantes sont-elles des paraboles ?

1. \(y=2x-1\)
2. \(y=2x^2-1\)
3. \(y=\dfrac{1}{x}\)
4. \(y^2=x^2\)

Pour chaque fonction trinôme \(f\), dire si la valeur \(a\) proposée est une racine de \(f\).

1. \(f(x)=x^2-x+1\) et \(a=1\)
2. \(f(x)=3x^2+x-2\) et \(a=-1\)
3. \(f(x)=2x^2-3x-2\) et \(a=2\)
4. \(f(x)=-2x^2+x+1\) et \(a=3\)

Associer à chaque trinôme sa forme canonique.

1. \(x^2+2x-5\)
2. \(2x^2+4x+1\)
3. \(x^2+4x+3\)
4. \(2x^2+x-4\)

1. \((x+2)^2-1\)
2. \((x+1)^2-6\)
3. \(2\left[\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{33}{16}\right]\)
4. \(2\left[(x+1)^2-\dfrac{1}{2}\right]\)

À chaque valeur de \(\Delta\) donnée, associer la bonne courbe représentative d^{\prime}une fonction trinôme du second degré ayant pour discriminant \(\Delta\).

1. \(\Delta=0\)
2. \(\Delta\gt 0\)
3. \(\Delta\lt 0\)

Calculer le discriminant de chaque trinôme et donner le nombre de racines du trinôme.

1. \(f(x)=x^2+x-1\)
2. \(g(x)=2x^2-x+3\)
3. \(h(x)=-5x^2+4x+3\)
4. \(j(x)=x^2-\sqrt{2}x+7\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(x^2+2x-3=0\)
2. \(x^2-2x-8=0\)
3. \(2x^2+5x-3=0\)
4. \(x^2-2x+1=0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(2x^2-4x+8=0\)
2. \(9x^2+24x+16=0\)
3. \(-5x^2+9x+2=0\)
4. \(4x^2-8x+3=0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(3x^2+4x+5=0\)
2. \(-3x^2+11x+4=0\)
3. \(2x^2-2x-3=0\)
4. \(x^2-2x-2=0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(2x^2+4x+2=0\)
2. \(-3x^2+4x+2=0\)
3. \(3x^2+12x-15=0\)
4. \(7x^2-x-2=0\)

Factoriser, si possible, les trinômes suivants.

1. \(f(x)=x^2-6x-7\)
2. \(f(x)=-x^2+2x+8\)
3. \(f(x)=-3x^2+5x+2\)
4. \(f(x)=3x^2+x+4\)
5. \(f(x)=-4x^2+28x-49\)
6. \(f(x)=x^2-x-1\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes.

1. \(3x^2+5x-2\geqslant 0\)
2. \(-2x^2+7x+4\gt 0\)
3. \(16x^2-40x+25\leqslant 0\)
4. \(3x^2-x+5\gt 0\)
5. \(-x^2+x-7\geqslant 0\)
6. \(-3x^2+5x+8\lt 0\)

Les trinômes suivants admettent tous des racines réelles. Donner dans chaque cas la somme et le produit de ces racines.

1. \(f(x)=x^2-x-2\)
2. \(f(x)=x^2+3x+1\)
3. \(f(x)=-x^2+5x+2\)
4. \(f(x)=2x^2+7x-1\)
5. \(f(x)=-3x^2+11x+7\)

Les trinômes suivants admettent tous des racines réelles. Donner dans chaque cas la somme et le produit de ces racines.

1. \(f(x)=9x^2+x-1\)
2. \(f(x)=-x^2-\sqrt{2}x+3\)
3. \(f(x)=\sqrt{3}x^2+2x-1\)
4. \(f(x)=-\sqrt{3}x^2-3\sqrt{5}x+1\)
5. \(f(x)=5x^2+\pi x-3\)

Calculer le discriminant puis les coordonnées du sommet de la parabole représentant chacun des trinômes suivants.

1. \(f(x)=x^2-4x+1\)
2. \(f(x)=-x^2+x-1\)
3. \(f(x)=2x^2-4x+5\)
4. \(f(x)=-3x^2+7x+2\)
5. \(f(x)=5x^2+x-3\)

On considère l'équation \((\mathrm{E})\) : \(ax^2+bx+c=0\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels tels que \(a\neq 0\).

1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions de l'équation \((\mathrm{E})\).
2. Écrire en Python une fonction delta(a, b, c) qui retourne le discriminant de \((\mathrm{E})\).
3. En Python, à quoi sert l'instruction elif ?
4. Compléter les lignes 4 ; 5 et 8 du programme ci-dessous.
   1. def nombre_solutions(a, b, c):
   2.   discriminant = delta(a, b, c)
   3.   if discriminant < 0:
   4.     return …
   5.   elif discriminant …:
   6.     return 1
   7.   else:
   8.     return …
5. Écrire un autre programme qui donne les solutions lorsqu'elles existent.

Julie a saisi l'expression des fonctions \(f\) et \(g\) sur sa calculatrice et a obtenu les écrans suivants.

Déterminer l'ordonnée des deux points d'intersection des courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\).

Soit \(m\) un nombre réel. On considère l’équation \((\mathrm{E})\) suivante : \(2x^2+x+m-1=0\).

1. Déterminer, en fonction de \(m\), le discriminant de l^{\prime}équation \((\mathrm{E})\).
2. En déduire, en fonction de \(m\), le nombre de solutions de l’équation \((\mathrm{E})\).

On pose \(A(x)=\dfrac{x+1}{x^2-3x-4}\).

1. Déterminer les racines de \(x^2-3x-4\).
2. Factoriser \(x^2-3x-4\).
3. Après avoir précisé l^{\prime}ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(A(x)\) existe, simplifier l^{\prime}écriture de \(A(x)\).

Pour chacune des fonctions trinômes suivantes, calculer le discriminant, les coordonnées du sommet de la parabole la représentant et dresser son tableau de variations sur \(\mathbb{R}\).

1. \(f(x)=-x^2+4x-1\)
2. \(g(x)=4x^2+16x+12\)
3. \(h(x)=-2x^2+20x-50\)
4. \(k(x)=10x^2-30x+\dfrac{57}{2}\)

La figure ci-dessous représente le logo d'une entreprise. ABCD est un carré de côté 4 cm. AFKE et KHCG sont des carrés. Le créateur de ce logo souhaite que l'aire de la surface en bleu soit la plus petite possible.

Pour quelle valeur de \(x\), la partie bleue a-t-elle la plus petite aire ?

Pour chacune des fonctions trinômes suivantes, calculer le discriminant, les coordonnées du sommet de la parabole la représentant et dresser son tableau de variations sur \(\mathbb{R}\).

1. \(f(x)=-x^2+4x-1\)
2. \(g(x)=4x^2+16x+12\)
3. \(h(x)=-2x^2+20x-50\)
4. \(k(x)=10x^2-30x+\dfrac{57}{2}\)

On donne ci-dessous les courbes représentatives de trois fonctions trinômes du second degré \(f\) en vert, \(g\) en rouge et \(h\) en bleu.

1. En utilisant la forme factorisée de \(f(x)\), déterminer l'expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\).
2. Déterminer, de même, les expressions de \(g(x)\) et \(h(x)\).
3. Les courbes représentatives des fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) ont-elles un point commun ? Si oui, déterminer ses coordonnées.

ABCD est un carré de côté 4. Soit \(x\in[0\,;4]\). E est le point de [AB] tel que \(\mathrm{AE}=x\) et F est le point de [AD] tel que \(\mathrm{DF}=x\).

Déterminer la valeur de \(x\) pour que l'aire du triangle FEC soit minimale.

Après avoir donné l'ensemble de résolution, résoudre les équations ou inéquations suivantes.

1. \(\sqrt{x-1}=-2x+3\)
2. \(\sqrt{x^2+18}=\sqrt{2x^2+8x-2}\)
3. \(\sqrt{x+5}\leqslant\sqrt{x^2-x-2}\)
4. \(\dfrac{1}{x+2}\gt 4x+3\)
5. \(\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x-3}\leqslant 0\)

Rappels de physique : On rappelle que dans un montage en parallèle (figure 1), la résistance équivalente (en ohms) est déterminée par \(\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\).
Dans un montage en série (figure 2), la résistance équivalente est donnée par \(R_{eq} = R_1 + R_2\).

Figure 1

Figure 2

On considère les montages ci-dessous (figure 3) où \(x\) est un réel strictement positif.

Figure 3

1. Déterminer la résistance équivalente \(R_{eq_1}\) pour le premier montage en fonction de \(x\) et \(R\).
2. Déterminer la résistance équivalente \(R_{eq_2}\) pour le second montage en fonction de \(x\) et \(R\).
3. Déterminer une équation dont \(x\) est solution sachant que \(R_{eq_1} = R_{eq_2}\).
4. Sachant que \(R = 100\) ohms, déterminer \(x\).