Équation du second degré
En bref : Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0 avec a non nul ; on la résout grâce au discriminant Δ = b² – 4ac, qui indique si elle a deux, une ou aucune solution réelle.
PremièreCalcul littéral
Définition : Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation où l’inconnue \(x\) apparaît au carré, sous la forme \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a\neq 0\).
On calcule le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta>0\), il y a deux solutions \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) ; si \(\Delta=0\), une solution double \(x=\frac{-b}{2a}\) ; si \(\Delta<0\), aucune solution réelle.
Comment le reconnaître
- L’inconnue est élevée au carré et l’on ne peut pas isoler \(x\) en un seul pas.
- Un problème de longueur, d’aire ou de trajectoire aboutit à une égalité du type « carré + terme en \(x\) + nombre = 0 ».
- On demande les abscisses des points où une parabole coupe l’axe horizontal.
- L’énoncé fournit directement les trois coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) d’un trinôme.
La méthode
- Mettre l’équation sous la forme \(ax^2+bx+c=0\) et relever \(a\), \(b\), \(c\) avec leurs signes.
- Calculer \(\Delta=b^2-4ac\) en faisant attention aux parenthèses autour des nombres négatifs.
- Selon le signe de \(\Delta\), appliquer la formule : deux solutions, une solution double ou aucune.
- Vérifier une solution en la remplaçant dans l’équation de départ.
Équation du second degré : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre l’équation \(2x^2-7x+3=0\).
Corrigé
Ici \(a=2\), \(b=-7\), \(c=3\). Le discriminant vaut \(\Delta=(-7)^2-4\times 2\times 3=49-24=25\), strictement positif, et \(\sqrt{25}=5\).
Les solutions sont \(x_1=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\) et \(x_2=\frac{7+5}{4}=3\). L’ensemble des solutions est \(\left\{\frac{1}{2}\,;\,3\right\}\).
À toi de jouer
Question 1
Combien de solutions réelles pour \(x^2+4x+9=0\) ?
Voir la réponse
\(\Delta=16-36=-20<0\) : l’équation n’a aucune solution réelle.
Question 2
Résoudre \(x^2-10x+25=0\).
Voir la réponse
\(\Delta=100-100=0\) : une solution double \(x=\frac{10}{2}=5\).
Ne pas confondre Équation du second degré et Équation produit nul
Une équation produit nul est déjà factorisée : \((x-3)(2x-1)=0\) se lit directement. L’équation du second degré se présente sous forme développée, \(2x^2-7x+3=0\), et il faut passer par le discriminant (ou une factorisation) pour la résoudre. Les deux conduisent aux mêmes types de solutions.
Pour aller plus loin
Cours
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