Équations de droites et vecteur normal : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « équations de droites et vecteur normal », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur la géométrie repérée de première, dans un repère orthonormé. D’abord, tu lis un vecteur directeur et un vecteur normal sur une équation cartésienne \(ax + by + c = 0\), puis tu associes trois droites tracées à leurs équations.
Ensuite, tu utilises le produit scalaire pour prouver que deux droites sont perpendiculaires, tu écris l’équation d’une hauteur et tu calcules l’aire d’un triangle. Enfin, tu détermines un projeté orthogonal, puis la distance d’un point à une droite, notamment pour tracer le chemin le plus court vers une route. Fais ce contrôle à la fin du chapitre, quand le produit scalaire en coordonnées est bien acquis.
Ce qu’évalue le contrôle : équations de droites et vecteur normal
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Géométrie repérée (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Lire un vecteur directeur et un vecteur normal sur une équation cartésienne de droite
- Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal
- Démontrer que deux droites sont perpendiculaires à l’aide de leurs vecteurs normaux
- Calculer l’équation d’une hauteur et les coordonnées d’un projeté orthogonal
- Calculer la distance d’un point à une droite dans une situation concrète
Avant de commencer le devoir
Pour chaque droite, écris d’abord la forme générale avec le bon vecteur normal, puis trouve \(c\) grâce au point connu. Ensuite, vérifie toujours ton équation avec un deuxième point, car une erreur de signe arrive vite. Pour une intersection, résous le système par substitution ou par combinaison. Enfin, confronte chaque résultat au graphique : le point trouvé doit y être visible.
Le sujet du contrôle : équations de droites et vecteur normal
Exercice 1 – Vecteurs directeurs et normaux (3 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère la droite \(d\) d’équation cartésienne \(2x – 3y + 6 = 0\).
- Donne d’abord un vecteur directeur et un vecteur normal de la droite \(d\).
- Le point \(E(3\,;\,4)\) appartient-il à \(d\) ? Justifie.
- Détermine ensuite une équation cartésienne de la droite qui passe par \(F(1\,;\,2)\) et admet \(\vec{n}(4\,;\,-1)\) comme vecteur normal.
Exercice 2 – Trois droites à identifier (4 points)
Les droites \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) sont tracées dans le repère orthonormé ci-dessous. De plus, leurs équations, données dans le désordre, sont les suivantes :
\((E_1) : x + y + 1 = 0\) ; \((E_2) : x – 2y + 3 = 0\) ; \((E_3) : 2x + y – 4 = 0\).
- Associe chaque droite à son équation. Justifie ensuite ton choix pour l’une des droites.
- À l’aide de vecteurs normaux, démontre que les droites d’équations \((E_2)\) et \((E_3)\) sont perpendiculaires.
- Calcule alors les coordonnées de leur point d’intersection.
- Donne enfin une équation cartésienne de la droite parallèle à \(d_2\) passant par \(K(2\,;\,3)\).
Exercice 3 – La hauteur d’un triangle (5 points)
Dans un repère orthonormé, on donne les points \(A(-3\,;\,-1)\), \(B(6\,;\,2)\) et \(C(1\,;\,7)\). On note alors \(H\) le point où la hauteur du triangle \(ABC\) issue de \(C\) coupe \((AB)\).
- Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), puis montre qu’une équation de \((AB)\) est \(x – 3y = 0\).
- Explique pourquoi \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur normal de la hauteur issue de \(C\), puis déduis-en une équation de cette hauteur.
- Démontre que \(H\) a pour coordonnées \((3\,;\,1)\).
- Calcule la longueur \(CH\) sous la forme \(a\sqrt{10}\).
- Sachant que \(AB = 3\sqrt{10}\), calcule alors l’aire du triangle \(ABC\).
Exercice 4 – Projeté orthogonal et distance (4 points)
Dans un repère orthonormé, on considère la droite \(\Delta\) d’équation \(x + 2y – 4 = 0\) et le point \(P(4\,;\,5)\). On appelle alors \(K\) le projeté orthogonal de \(P\) sur \(\Delta\).
- Vérifie que \(P\) n’appartient pas à \(\Delta\).
- Détermine une équation cartésienne de la droite \(d^{\prime}\) perpendiculaire à \(\Delta\) passant par \(P\).
- Trouve ensuite les coordonnées du point \(K\).
- Déduis-en la distance du point \(P\) à la droite \(\Delta\), c’est-à-dire la longueur \(PK\).
- Soit \(M\) un point quelconque de \(\Delta\). Justifie que \(PM \geq PK\), car c’est pour cela qu’on parle de distance à la droite.
Exercice 5 – Le chemin de la maison de Nadia (4 points)
Nadia veut relier sa maison \(M\) à une route rectiligne par un chemin goudronné. Sur le plan ci-dessous, muni d’un repère orthonormé dont l’unité vaut 100 m, la route passe par \(A(0\,;\,6)\) et \(B(8\,;\,0)\), et la maison est au point \(M(7\,;\,7)\). Le goudronnage coûte 40 € par mètre de chemin, donc Nadia cherche le chemin le plus court.
- Montre qu’une équation cartésienne de la route \((AB)\) est \(3x + 4y – 24 = 0\).
- Le chemin le plus court est perpendiculaire à la route. Écris donc une équation de la droite qui le porte.
- Détermine alors le point \(H\) où ce chemin rejoint la route.
- Calcule la longueur du chemin \(MH\) en mètres et son coût. Compare ensuite avec un chemin qui rejoindrait la route en \(A\) : on donne \(\sqrt{50} \approx 7{,}07\).
Réviser équations de droites et vecteur normal avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon vecteurs, droites et plans ; entraîne-toi sur la fiche vecteurs et droites du plan avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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