Suites numériques : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de MathématiquesPremière • lycée

Suites numériques

⏱️Temps de lecture : 6 min

🎯Difficulté : Avancé

📚Cycle terminal

📋Prérequis : Programme 2nde maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Les suites numériques avec un cours de maths en 1ère avec les définitions et les propriétés. L’élève devra savoir calculer les termes d’une suite ainsi que la somme des n premiers termes. Étudier la convergence et vérifier si elle est croissante et décroissante ainsi que les suites arithmétiques de raison r et géométriques de raison q en première.

I.Mode de génération d’une suite numérique

Définition : suite numérique.

Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ .L’image de l’entier n par la suite est noté u_n .

On l’appelle terme d’indice n de la suite.

Cette suite est notée (u_n) ou encore, u.

Définition : suite définie par une relation de récurrence.

Définir une suite par une relation de récurrence, c’est donner le premier terme de la suiteet une méthode de calcul de $u_{n+1}$ en fonction du terme précédent u_n .

Exemple :

Soit la suite définie pour tout entier naturel n par :

et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+6$ .

II.Les suites arithmétiques

Définition :

On dit qu’une suite (u_n) est arithmétique, s’il existe un nombre réel r tel que pour tout entier naturel ,on a $u_{n+1}=u_n+r$ .

Le réel r est appelé raison de la suite arithmétique (u_n) .

Théorème : forme explicite d’une suite arithmétique.

Si est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout entier naturel n, on : .
Si est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et k avec n>k, on : .

Propriété : somme des premiers entiers.

La somme des n premiers entiers est donnée par : $S_n=0+1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Propriété : somme des premiers termes.

La somme des n premiers termes d’une suite arithmétiques de raison $r\neq,1$ est donnée par : $S_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n=(n+1)\frac{u_{0}+u_n}{2}$ .

III.Les suites géométriques

Définition :

On dit qu’une suite (u_n) est géométrique, s’il existe un nombre réel q non nul tel que pour tout entier naturel ,on a $u_{n+1}=u_n,\times ,q$ .

Le réel q est appelé raison de la suite géométrique (u_n) .

Théorème : forme explicite d’une suite géométrique.

Si est une suite arithmétique de raison q, alors pour tout entier naturel n, on : $u_n=u_0,\times ,q^n$ .
Si est une suite arithmétique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et k avec n>k, on : $u_n=u_k,\times ,q^{n-k}$ .

Propriété : somme des premières puissances.

Pour tout réel q non nul et différent de 1, $\sum_{0}^{n}q^k=1+q+q^2+q^3+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$

Autre version de cette leçon

I. Les suites numériques

1.Définition et vocabulaire

Définition :

Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$ , $u:n,\mapsto ,u(n)$ .

2. Notations et vocabulaire

Notations :

L’écriture fonctionnelle u(n) est peu utilisée pour désigner l’image de l’entier naturel n par la fonction u. On lui préfère la notation indexée (ou indicée): u_n .

Avec cette notation l’image de 0 est u_0 .
On appelle , le premier terme de la suite (u_n) .

De même, est le second terme de la suite s.

De façon générale:
u_n est le terme d’indice n ou de rang n de la suite (u_n) .
On dit aussi que u_n est le terme général de la suite (u_n) .

On écrit aussi , pour indiquer qu’il s’agit de la suite dont le terme de rang n est u_n où n $\in$ $\mathbb{N}$ .

Remarque:

Il arrive parfois que le premier terme d’une suite ne soit pas .
Par exemple :

$u_n=\frac{1}{n}$ n’existe pas pour n = 0.

La suite commence au rang 1.

On écrira alor n $\in$ $\mathbb{N}$ .

$t_n=\frac{1}{n(n-1)}$ n’existe pas pour n = 0, ni pour n = 1.

La suite commence au rang 2.

Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de $\mathbb{N}$ où la suite est définie.

II. Diverses manières de définir une suite

1. Suites définies par une égalité fonctionnelle

Définition :

Une suite numérique étant une fonction définie sur $\mathbb{N}$ , c’est donc la restriction à $\mathbb{N}$ d’une fonction définie sur $\mathbb{R}$ ou un sous ensemble de $\mathbb{R}$ contenant $\mathbb{N}$ .
Par exemple, la suite u_n=n^2 (n $\in$ $\mathbb{N}$ ), est la restriction à $\mathbb{N}$ de la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par . L’intérêt de cette remarque réside dans le fait que les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites.

2.Suite définie par une formule de récurrence

La spécificité des suites sur les fonctions de la variable réelle, est que, pour tout entier naturel n, son image étant « numérotable », on peut définir le terme $u_{n+1}$ en fonction du terme précédent par une formule appelée formule de récurrence.

Définition :

Plus précisément, la suite (u_n) sera définie par récurrence par:
– Son premier terme u_0 .
– Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Exemple :

Par exemple, la suite définie par son premier terme et la formule de récurrence vérifiée pour tout entier n: $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$ .

III. Les suites arithmétiques et géométriques:

1.Définitions et formules

Soit n un entier naturel quelconque :

Exemples:

La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
La suite des entiers naturels impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
La suite définie par la formule: U_n = an + b (fonction affine de n) est la suite arithmétique de premier terme U₀ = b et de raison a.
La suite constante de terme général U_n = 2 est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1.
La suite de terme général U_n = (-1)ⁿ est la suite géométrique de premier terme U₀ = 1 et de raison -1.
La suite des puissances d’un nombre réel a non nul, de terme général U_n = aⁿ est la suite géométrique de premier terme U₀ = 1 et de raison a.
La suite définie par la formule: U_n = a bⁿ (fonction exponentielle de n) est la suite géométrique de premier terme U₀ = a et de raison b (b réel non nul).

2.Somme des termes d’une suite arithmétique

Propriété :

Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, on a:
Pour tout entier naturel n, on a:

$\sum_{k=o0}^{n}u_k=u_0+u_1+...+u_n=(n+1)\times ,\frac{u_0+u_n}{2}$

3.Somme des n premiers entiers

Propriété :

$\sum_{k=0}^{n}k=1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

4.Somme des termes d’une suite géométrique

Propriété :

Pour tout entier naturel n, et pour tout réel $q\neq,1$ , on a:

$\sum_{k=0}^{n}q^k=1+q+q^2+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$

Moyen mnémotechnique :

$\frac{suivant-premier}{raison-1}$ .

Propriété :

Si (u_n) est une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison $q\neq,1$ , on a:

$\sum_{k=o0}^{n}u_k=u_0+u_1+...+u_n=,\frac{u_{n+1}-u_0}{q-1}$ .

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