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Suites numériques : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur les suites numériques en 1ère S avec définitions et propriétés des suites ainsi que les suites arithmétiques et géométriques en première S.

I.Mode de génération d’une suite numérique

Définition : suite numérique.

Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.

L’image de l’entier n par la suite est noté u_n.

On l’appelle terme d’indice n de la suite.

Cette suite est notée (u_n) ou encore, u.

Définition : suite définie par une relation de récurrence.

Définir une suite par une relation de récurrence, c’est donner le premier terme de la suite

et une méthode de calcul de u_{n+1} en fonction du terme précédent u_n.

Exemple :

Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par :

u_0=2 et u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+6.

représentation graphique-suite

II.Les suites arithmétiques

Définition :

On dit qu’une suite (u_n) est arithmétique, s’il existe un nombre réel r tel que pour tout entier naturel ,

on a u_{n+1}=u_n+r.

Le réel r est appelé raison de la suite arithmétique (u_n).

Théorème : forme explicite d’une suite arithmétique.

  • Si (u_n) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout entier naturel n, on : u_n=u_0+nr.
  • Si (u_n) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et k avec n>k, on : u_n=u_k+(n-k)r.

Propriété : somme des premiers entiers.

La somme des n premiers entiers est donnée par :

S_n=0+1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

Propriété : somme des premiers termes.

La somme des n premiers termes d’une suite arithmétiques de raison r\neq 1 est donnée par :

S_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n=(n+1)\frac{u_{0}+u_n}{2}.

III.Les suites géométriques

Définition :

On dit qu’une suite (u_n) est géométrique, s’il existe un nombre réel q non nul tel que pour tout entier naturel ,

on a u_{n+1}=u_n \times   q.

Le réel q est appelé raison de la suite géométrique (u_n).

Théorème : forme explicite d’une suite géométrique.

  • Si (u_n) est une suite arithmétique de raison q, alors pour tout entier naturel n, on : u_n=u_0 \times   q^n.
  • Si (u_n) est une suite arithmétique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et k avec n>k, on : u_n=u_k \times   q^{n-k}.

Propriété : somme des premières puissances.

Pour tout réel q non nul et différent de 1,

\sum_{0}^{n}q^k=1+q+q^2+q^3+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}


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