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Mise à jour le 29 décembre 2019 | cours 1ère

Suites numériques : cours de maths en 1ère S en PDF

Cours sur les suites numériques en 1ère S avec définitions et propriétés des suites ainsi que les suites arithmétiques et géométriques en première S.

Sommaire

I.Mode de génération d’une suite numérique

Définition : suite numérique.

Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ .

L’image de l’entier n par la suite est noté $u_n$ .

On l’appelle terme d’indice n de la suite.

Cette suite est notée $(u_n)$ ou encore, u.

Définition : suite définie par une relation de récurrence.

Définir une suite par une relation de récurrence, c’est donner le premier terme de la suite

et une méthode de calcul de $u_{n+1}$ en fonction du terme précédent $u_n$ .

Exemple :

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel n par :

$u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+6$ .

II.Les suites arithmétiques

Définition :

On dit qu’une suite $(u_n)$ est arithmétique, s’il existe un nombre réel r tel que pour tout entier naturel ,

on a $u_{n+1}=u_n+r$ .

Le réel r est appelé raison de la suite arithmétique $(u_n)$ .

Théorème : forme explicite d’une suite arithmétique.

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout entier naturel n, on : $u_n=u_0+nr$ .
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et k avec n>k, on : $u_n=u_k+(n-k)r$ .

Propriété : somme des premiers entiers.

La somme des n premiers entiers est donnée par :

$S_n=0+1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Propriété : somme des premiers termes.

La somme des n premiers termes d’une suite arithmétiques de raison $r\neq 1$ est donnée par :

$S_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n=(n+1)\frac{u_{0}+u_n}{2}$ .

III.Les suites géométriques

Définition :

On dit qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, s’il existe un nombre réel q non nul tel que pour tout entier naturel ,

on a $u_{n+1}=u_n \times q$ .

Le réel q est appelé raison de la suite géométrique $(u_n)$ .

Théorème : forme explicite d’une suite géométrique.

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison q, alors pour tout entier naturel n, on : $u_n=u_0 \times q^n$ .
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et k avec n>k, on : $u_n=u_k \times q^{n-k}$ .

Propriété : somme des premières puissances.

Pour tout réel q non nul et différent de 1,

$\sum_{0}^{n}q^k=1+q+q^2+q^3+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$

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