Polynôme
En bref : Un polynôme est une expression de la forme a_n x^n + … + a_1 x + a_0, somme de puissances entières positives de x multipliées par des coefficients réels ; son degré est le plus grand exposant présent.
PremièreCalcul littéral
Définition : Polynôme
Un polynôme est une somme de termes où la variable \(x\) apparaît seulement avec des exposants entiers positifs ou nuls : \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\).
Les nombres \(a_k\) sont les coefficients et le plus grand exposant avec un coefficient non nul est le degré. Une fonction définie par un tel polynôme se calcule uniquement avec des additions et des multiplications, ce qui la rend facile à étudier.
Comment le reconnaître
- L’expression mélange des puissances \(x^2\), \(x^3\), \(x\) et des nombres, sans \(x\) au dénominateur ni sous une racine.
- On demande le degré de l’expression ou la valeur de \(P(a)\) pour un nombre donné.
- On cherche les valeurs de \(x\) qui annulent l’expression, donc ses racines.
- Un énoncé de factorisation ou de division mentionne un « polynôme de degré 3 » ou « de degré 2 ».
La méthode
- Réduire et ordonner l’expression par exposants décroissants pour la lire clairement.
- Repérer le terme de plus haut exposant : son exposant est le degré, son coefficient est le coefficient dominant.
- Pour évaluer en \(a\), remplacer \(x\) par \(a\) en plaçant les nombres négatifs entre parenthèses.
- Pour chercher des racines, résoudre \(P(x)=0\) ou tester des valeurs entières simples.
Polynôme : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(P(x)=2x^3-5x^2+x+7\). Donner son degré, son coefficient dominant et calculer \(P(-2)\).
Corrigé
Le plus grand exposant est \(3\) : le degré est 3 et le coefficient dominant est \(2\).
On remplace : \(P(-2)=2\times(-8)-5\times 4+(-2)+7=-16-20-2+7=\) \(-31\).
À toi de jouer
Question 1
Quel est le degré de \(Q(x)=7-4x+9x^4-x^2\) ?
Voir la réponse
Le plus grand exposant est \(4\) (terme \(9x^4\)) : le degré vaut \(4\).
Question 2
Calculer \(R(3)\) pour \(R(x)=x^2-6x+8\) et dire si \(3\) est une racine.
Voir la réponse
\(R(3)=9-18+8=-1\). Ce n’est pas \(0\), donc \(3\) n’est pas une racine.
Ne pas confondre Polynôme et Fonction polynôme
Le polynôme est l’expression algébrique, une écriture avec des coefficients et des puissances. La fonction polynôme est l’application qui, à chaque réel, associe la valeur de cette expression. On passe de l’un à l’autre sans effort, mais on parle de racines pour le premier et de courbe pour la seconde.
Pour aller plus loin
Cours
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