Fonction polynôme
En bref : Une fonction polynôme est une fonction qui s’écrit comme une somme de termes de la forme a·xⁿ, avec n entier naturel ; son degré est le plus grand exposant présent avec un coefficient non nul.
SecondeFonctions
Définition : Fonction polynôme
Une fonction polynôme \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par une expression du type \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\text{etc.}+a_0\) où chaque terme est un coefficient multiplié par une puissance entière de \(x\). Ce sont de simples additions, soustractions et multiplications : jamais de \(x\) au dénominateur ni sous une racine.
Le degré est le plus grand exposant utilisé. Un polynôme de degré \(1\) est une fonction affine, de degré \(2\) il donne une parabole. Une fonction polynôme peut aussi se présenter factorisée, par exemple \(3(x-1)(x-3)\), forme qui révèle ses racines : les valeurs de \(x\) où elle s’annule.
Comment le reconnaître
- L’expression est une somme de monômes comme \(3x^2\), \(-12x\) et \(9\), sans quotient en \(x\).
- On demande le degré, une forme développée, une forme factorisée ou les racines.
- La courbe est lisse, sans trou ni cassure, définie pour toute valeur de \(x\).
- Un produit de facteurs comme \((x-2)(2x+1)\) doit être mis sous forme de somme.
La méthode
- Pour trouver le degré, développer si besoin puis repérer le plus grand exposant de \(x\) dont le coefficient n’est pas nul.
- Pour calculer une image, remplacer \(x\) par la valeur et respecter les priorités opératoires.
- Pour passer de la somme au produit, chercher un facteur commun ou une racine évidente.
- Pour trouver les racines, utiliser la forme factorisée : un produit est nul si l’un des facteurs l’est.
Fonction polynôme : exemple corrigé
Énoncé
Soit la fonction polynôme \(f(x)=3x^2-12x+9\). Donner son degré, calculer \(f(-1)\), puis montrer que \(f(x)=3(x-1)(x-3)\) et en déduire les solutions de \(f(x)=0\).
Corrigé
Le plus grand exposant est \(2\) : le degré vaut \(2\). Ensuite \(f(-1)=3\times 1+12+9=24\).
On développe : \(3(x-1)(x-3)=3(x^2-3x-x+3)=3(x^2-4x+3)=3x^2-12x+9\). Les deux écritures coïncident. Un produit est nul quand un facteur l’est : \(x-1=0\) ou \(x-3=0\). Les racines sont \(x=1\) et \(x=3\).
À toi de jouer
Question 1
Développer \(g(x)=(x-2)(2x+1)\) et donner son degré.
Voir la réponse
\(g(x)=2x^2+x-4x-2=2x^2-3x-2\). Le degré est \(2\).
Question 2
Pour quelles valeurs de \(x\) la fonction \(h(x)=x^3-9x\) s’annule-t-elle ?
Voir la réponse
\(h(x)=x(x-3)(x+3)\), donc \(h(x)=0\) pour \(x=0\), \(x=3\) ou \(x=-3\).
Ne pas confondre Fonction polynôme et Fonction affine
Toute fonction affine \(mx+p\) est un polynôme de degré au plus \(1\), mais le mot polynôme couvre bien davantage : degré \(2\), \(3\), ou plus. La courbe d’une fonction affine est une droite, celle d’un polynôme de degré \(2\) est une parabole, et celle des degrés supérieurs peut onduler.
Pour aller plus loin
Cours
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