Fonction carré
En bref : La fonction carré transforme chaque réel x en x² : elle recule tant que x est négatif, avance ensuite, et sa valeur la plus basse, zéro, est atteinte à l’origine du repère.
SecondeFonctions
Définition : Fonction carré
On appelle fonction carré la règle \(f\) qui, à chaque réel \(x\), fait correspondre \(f(x)=x^2\). Multiplier un nombre par lui-même ne peut jamais donner un résultat négatif.
La représentation graphique est une parabole que l’axe vertical coupe en deux moitiés identiques, car \((-x)^2=x^2\). Le point le plus bas est l’origine \((0\,;\,0)\). La fonction décroît sur \(]-\infty\,;\,0]\) puis croît sur \([0\,;\,+\infty[\) : pour comparer deux carrés, il faut donc d’abord regarder le signe des nombres de départ.
Comment le reconnaître
- Le nombre est élevé à la puissance deux, ou l’on mesure la surface d’une dalle carrée de côté variable.
- L’énoncé demande de comparer deux carrés sans calculatrice, ou de résoudre \(x^2=a\).
- La courbe a la forme d’une cuvette ouverte vers le haut, symétrique autour de l’axe vertical.
- On cherche un nombre dont le résultat est toujours positif ou nul, comme une distance au carré.
La méthode
- Pour comparer \(a^2\) et \(b^2\), regarder où se trouvent \(a\) et \(b\) : tous deux négatifs, tous deux positifs, ou de signes différents.
- Si les deux sont négatifs, l’ordre s’inverse ; s’ils sont positifs, il est conservé.
- Pour résoudre \(x^2=k\) avec \(k>0\), écrire les deux solutions \(\sqrt{k}\) et \(-\sqrt{k}\) ; si \(k<0\), aucune solution.
- Contrôler en calculant le carré du résultat trouvé.
Fonction carré : exemple corrigé
Énoncé
Sans calculatrice, comparer \((-3{,}2)^2\) et \((-2{,}9)^2\), puis résoudre \(x^2=18{,}49\).
Corrigé
Les deux nombres \(-3{,}2\) et \(-2{,}9\) sont négatifs, là où la fonction est décroissante. Comme \(-3{,}2<-2{,}9\), l’ordre s’inverse : \((-3{,}2)^2>(-2{,}9)^2\). Vérification : \(10{,}24>8{,}41\).
Pour l’équation, \(18{,}49>0\) donne deux solutions, \(\sqrt{18{,}49}\) et son opposé. Comme \(4{,}3\times 4{,}3=18{,}49\), l’ensemble des solutions est \(\{-4{,}3\,;\,4{,}3\}\).
À toi de jouer
Question 1
Comparer \(0{,}7^2\) et \(0{,}8^2\) en justifiant.
Voir la réponse
Les deux nombres sont positifs, donc l’ordre est conservé : \(0{,}7<0{,}8\) donne \(0{,}49<0{,}64\).
Question 2
Résoudre \(x^2=-16\).
Voir la réponse
Un carré n’est jamais négatif : l’équation n’a aucune solution réelle.
Ne pas confondre Fonction carré et Fonction racine carrée
Ces deux fonctions défaisent l’une l’autre seulement en partie. Élever au carré rend positif : \((-5)^2=25\). Prendre la racine carrée de \(25\) redonne \(5\), pas \(-5\). La fonction carré est définie sur tout \(\mathbb{R}\), la racine carrée uniquement sur les nombres positifs ou nuls.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Parabole
- Fonction cube
- Fonction racine carrée
- Carré d'un nombre
- Variations d'une fonction
- Fonction paire
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