Parabole
En bref : Une parabole est la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 : elle possède un sommet, un axe de symétrie vertical, et s’ouvre vers le haut ou vers le bas selon le signe de a.
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Définition : Parabole
Une parabole est la courbe de la fonction \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\) non nul. Elle a la forme d’un arc ou d’une cuvette et ne se coupe jamais elle-même.
Si \(a\) est positif, elle s’ouvre vers le haut et son sommet est le point le plus bas. Si \(a\) est négatif, elle s’ouvre vers le bas et le sommet est le point le plus haut. La droite verticale passant par le sommet est un axe de symétrie : deux points de même ordonnée sont à égale distance de cet axe. La forme \(a(x-\alpha)^2+\beta\) donne directement le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\).
Comment le reconnaître
- L’expression de la fonction contient un terme en \(x^2\) et aucun terme de degré supérieur.
- La courbe est un arc symétrique avec un point haut ou un point bas unique.
- La trajectoire d’un projectile ou la forme d’un pont en arche est décrite par une courbe de ce type.
- L’énoncé demande le sommet, l’axe de symétrie ou les points d’intersection avec les axes.
La méthode
- Lire le signe de \(a\) pour savoir si la courbe s’ouvre vers le haut ou vers le bas.
- Avec la forme \(a(x-\alpha)^2+\beta\), repérer le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\) et l’axe d’équation \(x=\alpha\).
- Trouver l’ordonnée à l’origine en calculant \(f(0)\), et les points sur l’axe des abscisses en résolvant \(f(x)=0\).
- Utiliser la symétrie pour compléter le tracé avec quelques points calculés.
Parabole : exemple corrigé
Énoncé
Soit \(f(x)=(x-3)^2-4\). Donner le sommet de sa parabole, son axe de symétrie, son ordonnée à l’origine et ses points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Corrigé
La forme \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=3\) et \(\beta=-4\) donne le sommet \(S(3\,;\,-4)\) et l’axe d’équation \(x=3\). Comme \(a=1\) est positif, la courbe s’ouvre vers le haut.
Ordonnée à l’origine : \(f(0)=9-4=5\). Intersections avec l’axe horizontal : \((x-3)^2=4\), donc \(x-3=2\) ou \(x-3=-2\), soit \(x=5\) ou \(x=1\).
À toi de jouer
Question 1
Quel est le sommet de la parabole de \(g(x)=-2(x+1)^2+8\) ? Vers où s’ouvre-t-elle ?
Voir la réponse
Le sommet est \(S(-1\,;\,8)\). Comme \(a=-2\) est négatif, elle s’ouvre vers le bas.
Question 2
Le point \(P(4\,;\,-3)\) appartient-il à la parabole de \(f(x)=(x-3)^2-4\) ?
Voir la réponse
\(f(4)=1-4=-3\) : oui. Son symétrique \((2\,;\,-3)\) est aussi sur la courbe.
Ne pas confondre Parabole et Fonction carré
La fonction carré \(x\mapsto x^2\) est le modèle de départ, dont le sommet est l’origine. La parabole est plus générale : toute courbe de \(ax^2+bx+c\), obtenue en étirant, retournant ou déplaçant celle du carré. La fonction carré n’est donc qu’un cas particulier de parabole.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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