Forme canonique
En bref : Mettre un trinôme sous forme canonique, c’est le réécrire a(x – α)² + β pour lire d’un coup d’œil le sommet (α ; β) de sa parabole et son extremum, minimum si a est positif, maximum sinon.
PremièreCalcul littéral
Définition : Forme canonique
Tout trinôme \(ax^2+bx+c\) peut s’écrire sous la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\), où \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta\) s’obtient en calculant la valeur du trinôme en \(\alpha\). Cette écriture contient un carré, ce qui fait apparaître une information précise.
Comme \((x-\alpha)^2\ge 0\), le trinôme est minimal en \(x=\alpha\) lorsque \(a>0\) et maximal lorsque \(a<0\), et cet extremum vaut \(\beta\). Le sommet de la parabole est donc le point \(S(\alpha\,;\,\beta)\) et la droite d’équation \(x=\alpha\) est son axe de symétrie.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande le sommet de la parabole, le minimum ou le maximum d’un trinôme.
- On voit un carré de la forme \((x-3)^2\) ajouté à un nombre.
- Il faut transformer \(ax^2+bx+c\) pour résoudre une équation ou une inéquation par étapes.
- Une parabole est décrite par son sommet et un autre point.
La méthode
- Mettre le coefficient \(a\) en facteur devant les termes en \(x^2\) et en \(x\).
- Compléter le carré : \(x^2+px=\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2-\dfrac{p^2}{4}\).
- Redistribuer \(a\) et regrouper les constantes pour obtenir \(a(x-\alpha)^2+\beta\).
- Contrôler en redéveloppant, puis lire le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\).
Forme canonique : exemple corrigé
Énoncé
Mettre \(f(x)=2x^2-12x+5\) sous forme canonique, puis donner son sommet et son minimum.
Corrigé
On met \(2\) en facteur : \(f(x)=2(x^2-6x)+5\). Comme \(x^2-6x=(x-3)^2-9\), on obtient \(f(x)=2\big[(x-3)^2-9\big]+5=2(x-3)^2-18+5\), soit \(f(x)=2(x-3)^2-13\).
Contrôle : \(2(x^2-6x+9)-13=2x^2-12x+5\). Le sommet est \(S(3\,;\,-13)\). Puisque \(a=2\) est positif, \(-13\) est le minimum de \(f\), atteint en \(x=3\).
À toi de jouer
Question 1
Écrire \(x^2+8x+3\) sous forme canonique.
Voir la réponse
\(x^2+8x=(x+4)^2-16\), donc \(x^2+8x+3=(x+4)^2-13\).
Question 2
Montrer que \(-x^2+2x+5=-(x-1)^2+6\) et donner l’extremum.
Voir la réponse
\(-(x-1)^2+6=-x^2+2x-1+6=-x^2+2x+5\). Comme \(a=-1\), c’est un maximum égal à \(6\), atteint en \(x=1\).
Ne pas confondre Forme canonique et Forme développée
Avec la forme développée \(ax^2+bx+c\), on lit \(c\) : la hauteur où la courbe traverse l’axe vertical. Avec la forme canonique, on lit \(\alpha\) et \(\beta\) : les coordonnées du sommet. Même polynôme, deux écritures, deux informations ; la question posée décide laquelle utiliser.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Forme développée
- Forme factorisée
- Sommet d'une parabole
- Trinôme du second degré
- Équation du second degré
- Parabole
Tout le glossaire : A–Z · Première · Calcul littéral
