Sommet d’une parabole
En bref : Le sommet d’une parabole désigne l’extrémité de la courbe, là où elle fait demi-tour sur son axe de symétrie ; pour y = ax² + bx + c, ce point a pour abscisse -b divisé par 2a.
PremièreFonctions
Définition : Sommet d'une parabole
Le sommet d’une parabole marque l’endroit où la courbe cesse de monter pour descendre, ou l’inverse. Il s’agit du minimum si les branches vont vers le haut (\(a>0\)), du maximum si elles vont vers le bas (\(a<0\)).
Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), ses coordonnées sont \(S(\alpha\,;\,\beta)\) avec \(\alpha=\frac{-b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\). La droite verticale d’équation \(x=\alpha\) est l’axe de symétrie de la courbe.
Comment le reconnaître
- L’énoncé cherche une hauteur maximale, un bénéfice maximal ou une aire minimale décrits par un trinôme.
- On demande les variations d’une fonction du second degré : le sommet sépare la partie qui monte de celle qui descend.
- La forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) est donnée ou à obtenir.
- On veut l’axe de symétrie de la courbe.
La méthode
- Lire les coefficients \(a\) et \(b\) de \(f(x)=ax^2+bx+c\).
- Calculer l’abscisse \(\alpha=\frac{-b}{2a}\).
- Calculer l’ordonnée en remplaçant : \(\beta=f(\alpha)\).
- Conclure avec le signe de \(a\) : \(\beta\) est un minimum si \(a>0\), un maximum si \(a<0\), et le sommet d’une parabole se note alors \(S(\alpha\,;\,\beta)\).
Sommet d'une parabole : exemple corrigé
Énoncé
Un jet d’eau suit la courbe \(f(x)=-2x^2+12x-7\) (en mètres). Déterminer le sommet de cette parabole et la hauteur maximale atteinte.
Corrigé
On a \(a=-2\) et \(b=12\), donc \(\alpha=\frac{-12}{2\times(-2)}=\frac{-12}{-4}=3\).
Puis \(\beta=f(3)=-2\times 9+36-7=11\). Le sommet est \(S(3\,;\,11)\) ; comme \(a<0\), la hauteur maximale est de \(11\) m.
À toi de jouer
Question 1
Quelle est l’abscisse du sommet de \(g(x)=x^2-8x+19\) ?
Voir la réponse
\(\alpha=\frac{8}{2}=4\). On en déduit \(g(4)=16-32+19=3\) comme minimum.
Question 2
Une parabole a pour sommet \(S(-1\,;\,5)\) et \(a>0\). Quel est son minimum ?
Voir la réponse
Le minimum est l’ordonnée du sommet, soit \(5\), atteint en \(x=-1\).
Ne pas confondre Sommet d'une parabole et Extremum
L’extremum est la valeur la plus grande ou la plus petite que prend la fonction, par exemple \(11\). Le sommet est le point de la courbe qui la réalise, avec ses deux coordonnées \((3\,;\,11)\). L’abscisse indique où l’extremum est atteint.
Pour aller plus loin
Cours
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