Forme factorisée
En bref : La forme factorisée d’un trinôme est un produit a(x – x₁)(x – x₂) : elle montre les racines x₁ et x₂ et permet de résoudre l’équation en annulant chaque facteur.
PremièreCalcul littéral
Définition : Forme factorisée
Écrire un polynôme sous forme factorisée, c’est le présenter comme un produit de facteurs. Pour un trinôme qui possède deux racines \(x_1\) et \(x_2\), cette écriture est \(a(x-x_1)(x-x_2)\), où \(a\) est le coefficient dominant.
Elle est précieuse parce qu’un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs l’est : les racines se lisent immédiatement. Elle facilite aussi l’étude du signe avec un tableau de signes. Tous les trinômes n’en possèdent pas : si le discriminant est négatif, aucune factorisation en facteurs réels du premier degré n’existe.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de factoriser une expression, de résoudre une équation ou d’étudier le signe d’un trinôme.
- On cherche les points où une parabole coupe l’axe des abscisses.
- Une expression contient un facteur commun ou une identité remarquable.
- Il faut utiliser la propriété du produit nul après avoir transformé une somme en produit.
La méthode
- Chercher un facteur commun ou une identité remarquable, qui factorise sans calcul de racines.
- Sinon, calculer le discriminant \(\Delta\) puis les racines \(x_1\) et \(x_2\) si \(\Delta\ge 0\).
- Écrire \(a(x-x_1)(x-x_2)\) en recopiant le coefficient \(a\) devant les facteurs.
- Contrôler en redéveloppant le produit, qui doit redonner le trinôme de départ.
Forme factorisée : exemple corrigé
Énoncé
Factoriser \(2x^2-x-6\), puis résoudre \(2x^2-x-6=0\). Factoriser aussi \(9x^2-25\).
Corrigé
Pour \(2x^2-x-6\), \(\Delta=(-1)^2-4\times 2\times(-6)=1+48=49\), donc les racines sont \(\dfrac{1-7}{4}=-1{,}5\) et \(\dfrac{1+7}{4}=2\). La forme factorisée est \(2(x-2)(x+1{,}5)=(x-2)(2x+3)\). Contrôle : \((x-2)(2x+3)=2x^2+3x-4x-6=2x^2-x-6\).
Les solutions de l’équation sont \(2\) et \(-1{,}5\). Enfin \(9x^2-25=(3x)^2-5^2=\) \((3x-5)(3x+5)\), par l’identité \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
À toi de jouer
Question 1
Factoriser \(x^2-10x+25\).
Voir la réponse
C’est l’identité \(a^2-2ab+b^2\) avec \(a=x\) et \(b=5\) : \(x^2-10x+25=(x-5)^2\).
Question 2
Résoudre \((2x-7)(x+4)=0\).
Voir la réponse
Un facteur est nul : \(2x-7=0\) donne \(x=3{,}5\), ou \(x+4=0\) donne \(x=-4\).
Ne pas confondre Forme factorisée et Forme canonique
La forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) est une somme qui existe pour tous les trinômes et qui livre le sommet. La forme factorisée est un produit qui n’existe que si le trinôme a des racines réelles, et qui livre ces racines. Les deux demandent un travail différent à partir de la forme développée.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Factoriser
- Équation produit nul
- Racine d'un polynôme
- Forme développée
- Forme canonique
- Identité remarquable
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