Trinôme du second degré
En bref : Le trinôme du second degré réunit trois monômes, a x² + b x + c, avec un coefficient a différent de zéro ; on peut le présenter en forme développée, canonique ou factorisée.
PremièreCalcul littéral
Définition : Trinôme du second degré
Un trinôme du second degré additionne trois termes : \(ax^2+bx+c\), où \(a\), \(b\), \(c\) sont des réels et \(a\neq 0\). La fonction associée a pour courbe une parabole.
Il possède trois écritures utiles : la forme développée \(ax^2+bx+c\), la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) qui donne le sommet, et, quand le discriminant est positif ou nul, la forme factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\) qui donne les racines.
Comment le reconnaître
- Une expression contient un terme en \(x^2\), un terme en \(x\) et un nombre seul.
- On doit développer un produit comme \((2x-1)(x+3)\) et reconnaître le résultat.
- L’énoncé demande le signe d’une expression, ses racines ou son extremum.
- On passe d’une forme à une autre selon ce que l’on cherche : sommet ou racines.
La méthode
- Développer et réduire pour lire \(a\), \(b\) et \(c\).
- Calculer \(\Delta=b^2-4ac\) pour savoir si des racines réelles existent.
- Obtenir la forme factorisée avec \(x_1\) et \(x_2\), ou la forme canonique avec \(\alpha=\frac{-b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).
- Vérifier en redéveloppant la forme obtenue : on doit retrouver l’expression de départ.
Trinôme du second degré : exemple corrigé
Énoncé
Montrer que \(f(x)=(2x-1)(x+3)\) est un trinôme du second degré, donner \(a\), \(b\), \(c\) et calculer son discriminant.
Corrigé
On développe : \((2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3\). C’est bien de la forme \(ax^2+bx+c\) avec \(a=2\), \(b=5\), \(c=-3\).
Le discriminant vaut \(\Delta=5^2-4\times 2\times(-3)=25+24=49\), ce qui est cohérent avec les deux racines \(\frac{1}{2}\) et \(-3\) lues sur la forme factorisée.
À toi de jouer
Question 1
L’expression \(x^3+2x-5\) est-elle un trinôme du second degré ?
Voir la réponse
Non : le plus grand exposant est \(3\), pas \(2\).
Question 2
Développer \((x-4)(x+6)\) et donner \(a\), \(b\), \(c\).
Voir la réponse
\(x^2+6x-4x-24=x^2+2x-24\) : \(a=1\), \(b=2\), \(c=-24\).
Ne pas confondre Trinôme du second degré et Polynôme
Chaque trinôme de ce type est un polynôme, pas l’inverse : un polynôme quelconque peut avoir un degré élevé et beaucoup de termes. Le trinôme du second degré exige exactement le degré 2, donc un coefficient \(a\) non nul devant \(x^2\).
Pour aller plus loin
Cours
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Mots voisins
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