Fonction racine carrée
En bref : La fonction racine carrée associe à tout réel positif ou nul x le nombre positif dont le carré vaut x ; elle est définie sur [0 ; +∞[, croissante, et sa courbe part de l’origine.
SecondeFonctions
Définition : Fonction racine carrée
La fonction racine carrée envoie chaque nombre \(x\ge 0\) sur \(\sqrt{x}\), l’unique nombre positif qui, multiplié par lui-même, redonne \(x\). Pour \(x\) négatif, aucun réel ne convient : la fonction n’existe pas.
Son ensemble de définition est donc \([0\,;\,+\infty[\). Elle est croissante : plus le nombre est grand, plus sa racine l’est aussi, mais de moins en moins vite. Sa courbe ressemble à la moitié d’une parabole couchée, partant de l’origine. Elle passe par \((1\,;\,1)\), \((4\,;\,2)\) et \((9\,;\,3)\), et ne contient aucun point d’ordonnée négative.
Comment le reconnaître
- L’expression contient le signe radical placé au-dessus d’un nombre ou d’une expression avec \(x\).
- L’énoncé demande de comparer deux racines sans calculatrice ou d’indiquer quand une racine existe.
- La courbe démarre en un point précis de l’axe horizontal puis s’élève en s’aplatissant.
- Il faut résoudre une équation du type \(\sqrt{x}=k\).
La méthode
- Pour que \(\sqrt{u}\) existe, écrire la condition \(u\ge 0\) et la résoudre.
- Pour comparer \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\) avec \(a\) et \(b\) positifs, comparer \(a\) et \(b\) : l’ordre est conservé.
- Pour résoudre \(\sqrt{x}=k\) avec \(k\ge 0\), élever au carré : \(x=k^2\).
- Si \(k\) est négatif, conclure qu’il n’y a aucune solution.
Fonction racine carrée : exemple corrigé
Énoncé
Comparer \(\sqrt{17}\) et \(\sqrt{19}\) sans calculatrice, résoudre \(\sqrt{x}=6{,}5\), puis déterminer pour quelles valeurs de \(x\) l’expression \(\sqrt{8-2x}\) existe.
Corrigé
La fonction étant croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) et \(17<19\), on obtient \(\sqrt{17}<\sqrt{19}\).
Pour \(\sqrt{x}=6{,}5\), on élève au carré : \(x=6{,}5^2=42{,}25\). Pour l’existence, il faut \(8-2x\ge 0\), donc \(-2x\ge -8\) et \(x\le 4\) (on change le sens en divisant par \(-2\)). L’expression existe sur \(]-\infty\,;\,4]\).
À toi de jouer
Question 1
Quelle est l’image de \(0{,}36\) par la fonction racine carrée ?
Voir la réponse
\(0{,}6\times 0{,}6=0{,}36\), donc l’image est \(0{,}6\).
Question 2
Résoudre \(\sqrt{x}=-3\).
Voir la réponse
Une racine carrée est toujours positive ou nulle : aucune solution.
Ne pas confondre Fonction racine carrée et Carré d'un nombre
Mettre un nombre au carré donne toujours un résultat positif, et ce pour n’importe quel réel. La racine carrée fait le chemin inverse, mais seulement à partir d’un nombre positif ou nul, et ne renvoie que la valeur positive. Ainsi \(\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4\), et non \(-4\).
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Racine carrée
- Fonction carré
- Ensemble de définition
- Variations d'une fonction
- Parabole
- Valeur interdite
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