Racine carrée
En bref : La racine carrée de a, notée √a pour a positif ou nul, répond à la question : quel nombre positif multiplié par lui-même redonne a ? Ainsi √64 = 8.
3èmeNombres et calculs
Définition : Racine carrée
Calculer la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), c’est chercher le nombre positif qu’il faut multiplier par lui-même pour retrouver \(a\). Ainsi \(\sqrt{49} = 7\) puisque \(7^2 = 49\). Elle n’existe pas pour un nombre négatif, car un carré n’est jamais négatif.
Géométriquement, c’est le côté d’un carré dont l’aire vaut \(a\). Deux règles servent sans cesse : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) et \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (avec \(b>0\)). En revanche, \(\sqrt{a+b}\) n’est pas égal à \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Comment le reconnaître
- L’aire d’un carré ou d’un disque est connue et l’on cherche la longueur du côté ou du rayon.
- Le théorème de Pythagore conduit à une égalité de la forme \(x^2 = 20\).
- Une expression contient une racine à simplifier, comme \(\sqrt{72}\) ou \(\sqrt{50} + \sqrt{8}\).
- La calculatrice affiche une longue suite de décimales pour un résultat qu’il faut donner exactement.
La méthode
- Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine : 4, 9, 16, 25, 36…
- Écrire le nombre comme produit de ce carré par un autre facteur, puis séparer les deux racines.
- Remplacer la racine du carré parfait par sa valeur entière et garder le reste sous la racine.
- Pour additionner, regrouper uniquement des termes qui ont la même racine, comme \(5\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\).
Racine carrée : exemple corrigé
Énoncé
Simplifier \(\sqrt{72}\), puis écrire \(\sqrt{50} + \sqrt{8}\) sous la forme \(k\sqrt{2}\).
Corrigé
Pour \(\sqrt{72}\), le plus grand carré parfait diviseur de 72 est 36 : \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Ensuite \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) et \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\).
La somme vaut \(5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = \) \(7\sqrt{2}\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(\sqrt{36} + \sqrt{64}\).
Voir la réponse
\(6 + 8 = 14\).
Question 2
Les nombres \(\sqrt{9+16}\) et \(\sqrt{9}+\sqrt{16}\) sont-ils égaux ?
Voir la réponse
Non : \(\sqrt{25} = 5\) alors que \(3 + 4 = 7\).
Ne pas confondre Racine carrée et Carré d'un nombre
Mettre un nombre au carré, c’est le multiplier par lui-même : \(7^2 = 49\). Prendre sa racine carrée, c’est l’opération inverse : \(\sqrt{49} = 7\). Attention aux nombres négatifs : \((-7)^2 = 49\), mais \(\sqrt{49}\) vaut 7 et jamais \(-7\).
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Nombres et calculs
