Théorème de Pythagore
En bref : Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle : le plus long, qui fait face à l’angle droit, a un carré qui vaut le total des carrés des deux autres, d’où une longueur manquante.
4èmeGéométrie plane
Définition : Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore fixe un lien entre les longueurs d’un triangle rectangle. Quand \(ABC\) est rectangle en \(A\), on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), où \([BC]\) est l’hypoténuse.
Géométriquement, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est la somme des aires des carrés bâtis sur les deux côtés de l’angle droit. Avec \(3\), \(4\) et \(5\) : \(9 + 16 = 25\). Ce résultat sert à calculer une longueur dès que deux côtés sont connus, à condition de savoir que l’angle est droit.
Comment le reconnaître
- Un triangle porte un codage d’angle droit et une longueur est à déterminer.
- L’énoncé décrit une échelle contre un mur, un cerf-volant ou une diagonale de rectangle.
- Deux côtés sont donnés avec des nombres et l’on demande le troisième.
- Une distance en diagonale doit être calculée à partir de deux distances perpendiculaires.
La méthode
- Avant d’appliquer le théorème de Pythagore, vérifier que le triangle est rectangle et nommer l’hypoténuse, côté d’en face.
- Écrire l’égalité de Pythagore avec les lettres du triangle.
- Remplacer par les longueurs connues, puis calculer les carrés.
- Pour une hypoténuse, additionner puis prendre la racine carrée ; pour un côté, soustraire avant la racine.
Théorème de Pythagore : exemple corrigé
Énoncé
Un cerf-volant à Berck est retenu par un fil tendu de \(13\) m. Il est à la verticale d’un point du sol situé à \(5\) m du lanceur, dont la main est au niveau du sol. À quelle hauteur vole-t-il ? Puis, dans un triangle rectangle de côtés \(4\) cm et \(6\) cm, calculer l’hypoténuse.
Corrigé
Le fil est l’hypoténuse. Donc \(h^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144\), et \(h = \sqrt{144} = 12\). Le cerf-volant vole à 12 m de hauteur.
Pour l’autre triangle : \(c^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\), donc \(c = \sqrt{52} \approx 7{,}2\) cm.
À toi de jouer
Question 1
Un triangle rectangle a deux côtés de l’angle droit de \(9\) cm et \(12\) cm. Quelle est l’hypoténuse ?
Voir la réponse
\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\), donc l’hypoténuse mesure \(\sqrt{225} = 15\) cm.
Question 2
L’hypoténuse mesure \(17\) cm et un côté \(8\) cm. Quel est l’autre côté ?
Voir la réponse
\(17^2 – 8^2 = 289 – 64 = 225\), donc \(\sqrt{225} = 15\) cm.
Ne pas confondre Théorème de Pythagore et Réciproque du théorème de Pythagore
Le théorème suppose l’angle droit connu et calcule une longueur. Sa réciproque suppose les trois longueurs connues et prouve que l’angle est droit. Dans la première situation, on part d’un triangle rectangle ; dans la seconde, on teste l’égalité \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) pour en tirer la conclusion.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Hypoténuse
- Réciproque du théorème de Pythagore
- Triangle rectangle
- Carré d'un nombre
- Racine carrée
- Théorème
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