Hypoténuse
En bref : L’hypoténuse est le côté d’un triangle rectangle qui fait face à l’angle droit ; c’est toujours le plus long des trois côtés et c’est elle qui apparaît seule dans l’égalité de Pythagore.
4èmeGéométrie plane
Définition : Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté qui ne touche pas l’angle droit : il se trouve juste en face de lui. Les deux autres côtés, qui forment l’angle droit, sont plus courts.
On la repère en suivant le codage de l’angle droit, puis en regardant le côté opposé à ce codage. Dans le théorème de Pythagore, son carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans les rapports trigonométriques, elle figure au dénominateur du cosinus et du sinus.
Comment le reconnaître
- Un petit carré codé marque l’angle droit et le côté d’en face est à identifier.
- L’énoncé dit « triangle rectangle en A » : l’hypoténuse est alors le côté qui ne contient pas A.
- On doit choisir quel côté élever au carré d’un seul côté de l’égalité de Pythagore.
- Un cosinus ou un sinus doit être écrit, avec l’hypoténuse au dénominateur.
La méthode
- Repérer le sommet de l’angle droit grâce au codage ou à l’énoncé.
- Chercher le côté qui n’est pas relié à ce sommet : c’est l’hypoténuse.
- La nommer avec les lettres de ses extrémités, par exemple \([PR]\).
- Contrôler qu’elle est bien plus longue que chacun des deux autres côtés.
Hypoténuse : exemple corrigé
Énoncé
Une rampe d’accès de Grenoble monte de \(1{,}5\) m sur une distance horizontale de \(3{,}6\) m. Quelle est la longueur de la rampe ?
Corrigé
Le sol et la hauteur forment un angle droit : la rampe est le côté d’en face, donc l’hypoténuse \(h\).
D’après le théorème de Pythagore, \(h^2 = 1{,}5^2 + 3{,}6^2 = 2{,}25 + 12{,}96 = 15{,}21\). Donc \(h = \sqrt{15{,}21} = 3{,}9\). La rampe mesure 3,9 m.
À toi de jouer
Question 1
Un triangle rectangle a des côtés de \(6\) cm, \(8\) cm et \(10\) cm. Quelle est l’hypoténuse ?
Voir la réponse
C’est le côté de \(10\) cm, le plus long, car \(6^2 + 8^2 = 100 = 10^2\).
Question 2
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). Quel est son plus long côté ?
Voir la réponse
C’est \([AC]\), qui ne contient pas \(B\) : c’est l’hypoténuse.
Ne pas confondre Hypoténuse et Côté opposé
Elle est unique et fait face à l’angle droit. Un côté opposé dépend de l’angle aigu étudié : c’est le côté de l’angle droit qui lui fait face. Un triangle rectangle compte une hypoténuse mais deux côtés, qui sont tour à tour adjacent ou opposé selon l’angle choisi.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Théorème de Pythagore
- Triangle rectangle
- Côté adjacent
- Côté opposé
- Cosinus
- Réciproque du théorème de Pythagore
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