Fonction paire
En bref : Une fonction paire donne la même image à deux nombres opposés, f(-x) = f(x), sur un ensemble de définition symétrique ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
PremièreFonctions
Définition : Fonction paire
Une fonction paire \(f\) traite de la même manière \(x\) et \(-x\) : pour tout \(x\) de son ensemble de définition, qui doit contenir aussi \(-x\), on a \(f(-x)=f(x)\). Les images des opposés sont donc égales.
Sur la courbe, cela se voit tout de suite : la moitié gauche est le reflet de la moitié droite dans un miroir placé sur l’axe vertical. Les puissances paires \(x^2\), \(x^4\), la valeur absolue et le cosinus sont des exemples. Il suffit alors d’étudier la fonction sur les positifs pour connaître tout son comportement, puis de compléter par symétrie.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande d’étudier la parité ou de réduire l’étude d’une fonction à \([0\,;\,+\infty[\).
- La courbe est identique de part et d’autre de l’axe des ordonnées.
- L’expression ne comporte que des puissances paires de \(x\), des valeurs absolues ou des cosinus.
- On connaît \(f(a)\) et l’on cherche \(f(-a)\).
La méthode
- Pour reconnaître une fonction paire, s’assurer d’abord que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à \(0\).
- Calculer \(f(-x)\) en remplaçant \(x\) par \(-x\) à chaque endroit de l’expression.
- Simplifier et comparer avec \(f(x)\) : si les deux expressions sont égales pour tout \(x\), la fonction est paire.
- Utiliser la parité pour tracer : dessiner la partie positive, puis la refléter dans l’axe des ordonnées.
Fonction paire : exemple corrigé
Énoncé
Montrer que \(f(x)=x^4-3x^2+1\) est paire. La fonction \(g(x)=(x-1)^2\) l’est-elle ? Sachant que \(f(2)=5\), donner \(f(-2)\).
Corrigé
Pour tout réel \(x\), \(f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+1=x^4-3x^2+1=f(x)\). Les puissances paires effacent le signe : \(f\) est paire, et \(f(-2)=f(2)=\) \(5\).
Pour \(g\) : \(g(-x)=(-x-1)^2=(x+1)^2\), qui diffère de \((x-1)^2\) en général, par exemple en \(x=1\) où \(g(1)=0\) mais \(g(-1)=4\). \(g\) n’est pas paire.
À toi de jouer
Question 1
Si \(f\) est paire et \(f(-3)=7\), que vaut \(f(3)\) ?
Voir la réponse
Deux opposés ont la même image : \(f(3)=f(-3)=7\).
Question 2
La fonction cosinus est paire. Que vaut \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) ?
Voir la réponse
\(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\).
Ne pas confondre Fonction paire et Fonction impaire
Avec la parité paire, deux opposés ont la même image et la courbe se reflète dans l’axe vertical. Avec la parité impaire, ils ont des images opposées et la courbe se retourne autour de l’origine. Pour les distinguer, tester une valeur : \(f(2)\) et \(f(-2)\) égales signifient paire, opposées signifient impaire.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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