Fonction impaire
En bref : Une fonction impaire vérifie f(-x) = -f(x) pour tout x de son ensemble de définition, qui doit être symétrique par rapport à zéro ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
PremièreFonctions
Définition : Fonction impaire
Une fonction impaire \(f\) est définie sur un ensemble \(D\) tel que, si \(x\) appartient à \(D\), alors \(-x\) y appartient aussi, et qui satisfait \(f(-x)=-f(x)\) pour tout \(x\) de \(D\). Changer le signe de l’entrée change le signe de la sortie.
Géométriquement, la courbe est inchangée quand on la retourne d’un demi-tour autour de l’origine \(O\) : chaque point \(M(x\,;\,y)\) a pour partenaire \(M^{\prime}(-x\,;\,-y)\). Les puissances impaires \(x\), \(x^3\), \(x^5\) en sont les exemples de base, tandis que \(x\mapsto\sin x\) est la plus célèbre des fonctions impaires de la trigonométrie. Si zéro est dans \(D\), alors \(f(0)=0\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande d’étudier la parité d’une fonction ou de justifier une symétrie.
- La courbe se superpose à elle-même après un demi-tour autour de l’origine.
- On connaît la valeur de \(f\) en un nombre et l’on veut celle en son opposé.
- L’expression est faite uniquement de puissances impaires de \(x\), comme \(x^3-4x\).
La méthode
- Vérifier que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à \(0\) ; sinon la fonction n’est pas impaire.
- Calculer \(f(-x)\) en remplaçant partout \(x\) par \(-x\), puis simplifier.
- Comparer avec \(-f(x)\) : s’ils sont égaux pour tout \(x\), la fonction est impaire.
- Si \(f(-x)\) n’est ni \(f(x)\) ni \(-f(x)\), conclure que la fonction n’a pas de parité.
Fonction impaire : exemple corrigé
Énoncé
Étudier la parité des fonctions \(f(x)=x^3-4x\), \(g(x)=x^2+x\) et \(h(x)=x^3+1\), toutes définies sur \(\mathbb{R}\).
Corrigé
L’ensemble \(\mathbb{R}\) est symétrique. Pour \(f\) : \(f(-x)=(-x)^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-f(x)\). \(f\) est impaire.
Pour \(g\) : \(g(-x)=x^2-x\), qui n’est égal ni à \(g(x)\) ni à \(-g(x)\). Pour \(h\) : \(h(-x)=-x^3+1\), ni \(h(x)\) ni \(-h(x)\). Donc \(g\) et \(h\) n’ont pas de parité.
À toi de jouer
Question 1
La fonction \(f\) est impaire et \(f(2)=5\). Que vaut \(f(-2)\) ?
Voir la réponse
\(f(-2)=-f(2)=-5\).
Question 2
Une fonction définie sur \([-3\,;\,4]\) peut-elle être impaire ?
Voir la réponse
Non : \(4\) est dans l’intervalle mais pas \(-4\). L’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à \(0\).
Ne pas confondre Fonction impaire et Fonction paire
Pour une fonction paire, \(f(-x)=f(x)\) et la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, comme un miroir. Pour une fonction impaire, \(f(-x)=-f(x)\) et la courbe a l’origine pour centre de symétrie. Beaucoup de fonctions ne sont ni l’une ni l’autre, par exemple \(x\mapsto x^2+x\).
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction paire
- Symétrie centrale
- Fonction cube
- Ensemble de définition
- Courbe représentative
- Fonction périodique
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