Symétrie centrale
En bref : Dans une symétrie centrale de centre O, chaque point M a pour image un point \(M^{\prime}\) situé de l’autre côté de O, à la même distance, de sorte que O soit pile au milieu de la paire.
5èmeGéométrie plane
Définition : Symétrie centrale
Une symétrie centrale est fixée par un point \(O\) appelé centre. L’image de \(M\) est le point \(M^{\prime}\) qui se trouve sur la droite \((MO)\), de l’autre côté de \(O\), à égale distance : \(O\) partage \([MM^{\prime}]\) en deux parties égales.
Le résultat ressemble à ce que donnerait un demi-tour de la feuille autour de \(O\). Les longueurs, les angles et les aires ne changent pas. Une droite a pour image une droite qui lui est parallèle, et le centre \(O\) reste à sa place.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande « le symétrique de A par rapport au point O » et non par rapport à une droite.
- Une figure paraît avoir subi une symétrie centrale : retournée d’un demi-tour, avec ses lettres à l’envers.
- On cherche si une figure, comme un parallélogramme, possède un centre de symétrie.
- Il faut justifier qu’un point est le milieu d’un segment qui relie un point et son image.
La méthode
- Tracer la droite qui passe par le point à transformer \(M\) et par le centre \(O\).
- Reporter au compas la longueur \(OM\) de l’autre côté de \(O\) : on obtient \(M^{\prime}\).
- Faire de même pour chaque sommet de la figure.
- Relier les images en suivant l’ordre des points de départ, puis nommer la figure obtenue.
Symétrie centrale : exemple corrigé
Énoncé
Le point \(M^{\prime}\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\) et \(OM = 4{,}3\) cm. Un triangle \(ABC\) a un angle \(\widehat{A}\) de \(38^\circ\) et une aire de \(15\) cm². Donner \(MM^{\prime}\), puis l’angle et l’aire du triangle image.
Corrigé
\(O\) est le milieu de \([MM^{\prime}]\), donc \(MM^{\prime} = 2 \times 4{,}3 = 8{,}6\) cm.
La transformation conserve les angles et les aires : l’angle image mesure encore \(38^\circ\) et l’aire du triangle image vaut aussi \(15\) cm². MM’ = 8,6 cm, angle de 38°, aire de 15 cm².
À toi de jouer
Question 1
Le symétrique de \(P\) par rapport à \(O\) est \(P^{\prime}\), avec \(PP^{\prime} = 11\) cm. Combien vaut \(OP\) ?
Voir la réponse
\(OP = 11 \div 2 = 5{,}5\) cm, puisque \(O\) est le milieu de \([PP^{\prime}]\).
Question 2
Quel est le symétrique du centre \(O\) lui-même ?
Voir la réponse
C’est \(O\) : le centre est son propre symétrique.
Ne pas confondre Symétrie centrale et Symétrie axiale
La symétrie axiale est un retournement autour d’une droite : la figure est « miroir » et son sens de lecture change. La version centrale est un demi-tour autour d’un point : la figure garde son sens. Dans la première, les segments joignant un point et son image sont parallèles entre eux ; dans la seconde, ils passent tous par le centre.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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