Nombre dérivé et équation de tangente : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « nombre dérivé et équation de tangente », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre. Pour chaque taux de variation, elle écrit toutes les étapes : développement, soustraction, puis simplification par \(h\). Ainsi, tu repères précisément l’endroit où ton calcul a pu dériver.
Les lectures graphiques sont justifiées par deux points du quadrillage, et chaque équation de tangente est obtenue avec la même formule. De plus, deux figures complètent la rédaction : le triangle formé par la tangente à l’hyperbole et la trajectoire du vélo au-dessus de la barrière. Compare ensuite ta copie au barème détaillé sous chaque exercice, puis lis les pièges classiques signalés, car ils coûtent souvent des points.
L’énoncé complet se trouve ici : Nombre dérivé et équation de tangente : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : nombre dérivé et équation de tangente
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Des sécantes à la tangente | 3 points |
| 2. Taux de variation et limite | 4 points |
| 3. Trois tangentes à lire | 5 points |
| 4. Tangente à l’hyperbole | 4 points |
| 5. Le tremplin de Yanis | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : nombre dérivé et équation de tangente
Exercice 1 – Des sécantes à la tangente (3 points)
- Les points ont pour coordonnées \(M_1(3\,;\,9)\), \(M_2(2\,;\,4)\) et \(M_3(1{,}5\,;\,2{,}25)\), car \(p(x) = x^2\).
Pour \((AM_1)\) : \(\frac{9 – 1}{3 – 1} = \frac{8}{2} = 4\).
Pour \((AM_2)\) : \(\frac{4 – 1}{2 – 1} = 3\).
Pour \((AM_3)\) : \(\frac{2{,}25 – 1}{1{,}5 – 1} = \frac{1{,}25}{0{,}5} = 2{,}5\).
Les coefficients directeurs valent 4, 3 et \(2{,}5\). - Le point \(M\) a pour coordonnées \((1 + h\,;\,(1 + h)^2)\). Donc le coefficient directeur de \((AM)\) est :
\(\frac{(1 + h)^2 – 1}{(1 + h) – 1} = \frac{1 + 2h + h^2 – 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h}\).
Comme \(h \neq 0\), on simplifie par \(h\). Le coefficient directeur de \((AM)\) vaut \(2 + h\). On retrouve d’ailleurs 4, 3 et \(2{,}5\) pour \(h = 2\), \(h = 1\) et \(h = 0{,}5\). - Quand \(h\) tend vers 0, \(2 + h\) tend vers 2, donc \(p^{\prime}(1) = 2\). La tangente en \(A\) a pour équation \(y = p^{\prime}(1)(x – 1) + p(1)\), soit \(y = 2(x – 1) + 1\). Ainsi, \(p^{\prime}(1) = 2\) et la tangente a pour équation \(y = 2x – 1\).
Exercice 2 – Taux de variation et limite (4 points)
- On remplace \(x\) par 2 : \(f(2) = 4 – 6 + 1 = -1\). Donc \(f(2) = -1\).
- On développe d’abord :
\(f(2 + h) = (2 + h)^2 – 3(2 + h) + 1 = 4 + 4h + h^2 – 6 – 3h + 1 = h^2 + h – 1\).
Puis on soustrait \(f(2)\) : \(f(2 + h) – f(2) = h^2 + h – 1 – (-1)\). Ainsi, \(f(2 + h) – f(2) = h^2 + h\). - Le taux de variation vaut \(\frac{f(2 + h) – f(2)}{h} = \frac{h^2 + h}{h} = h + 1\), car \(h \neq 0\).
Quand \(h\) tend vers 0, \(h + 1\) tend vers 1, qui est un nombre réel. Par conséquent, \(f\) est dérivable en 2 et \(f^{\prime}(2) = 1\). - On calcule \(k(1 + h) – k(1) = 1 + 3h + 3h^2 + h^3 – 1 = 3h + 3h^2 + h^3\).
Le taux de variation vaut alors \(\frac{3h + 3h^2 + h^3}{h} = 3 + 3h + h^2\).
Lorsque \(h\) tend vers 0, \(3h\) et \(h^2\) tendent vers 0, donc le taux tend vers 3. La fonction cube est dérivable en 1 et \(k^{\prime}(1) = 3\).
Piège classique : oublier les parenthèses dans \(-3(2 + h)\) ou dans \(-(-1)\). En effet, une seule erreur de signe fausse le taux, puis le nombre dérivé.
Exercice 3 – Trois tangentes à lire (5 points)
- Les trois points sont à la même hauteur sur le graphique. On lit \(f(0) = 2\), \(f(2) = 2\) et \(f(4) = 2\).
- Le nombre dérivé \(f^{\prime}(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(a\). Par exemple, \(T_A\) passe par \(A(0\,;\,2)\) et par le nœud \((1\,;\,4)\) : quand on avance de 1 en abscisse, on monte de 2, donc \(f^{\prime}(0) = \frac{4 – 2}{1 – 0} = 2\).
De même, \(T_B\) passe par \(B(2\,;\,2)\) et \((4\,;\,0)\), d’où \(\frac{0 – 2}{4 – 2} = -1\).
Enfin, \(T_C\) passe par \(C(4\,;\,2)\) et \((5\,;\,4)\), d’où \(\frac{4 – 2}{5 – 4} = 2\).
On obtient \(f^{\prime}(0) = 2\), \(f^{\prime}(2) = -1\) et \(f^{\prime}(4) = 2\). - On utilise \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\).
Pour \(T_A\) : \(y = 2(x – 0) + 2\), soit \(y = 2x + 2\).
Pour \(T_B\) : \(y = -1(x – 2) + 2\), soit \(y = -x + 4\).
\(T_A : y = 2x + 2\) et \(T_B : y = -x + 4\). - Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur. Or \(f^{\prime}(0) = f^{\prime}(4) = 2\), et les deux droites ne sont pas confondues, car \(T_A\) coupe l’axe des ordonnées en 2 alors que \(T_C : y = 2(x – 4) + 2 = 2x – 6\) le coupe en \(-6\). Donc \(T_A\) et \(T_C\) sont parallèles.
- On remplace \(x\) par 10 dans l’équation de \(T_C\) : \(2 \times 10 – 6 = 14\). On trouve bien l’ordonnée de \(D\). Ainsi, le point \(D(10\,;\,14)\) appartient à \(T_C\).
Piège classique : lire \(f(a)\) au lieu de \(f^{\prime}(a)\). Ici, \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\) sont égaux, mais les trois nombres dérivés, eux, ne le sont pas.
Exercice 4 – Tangente à l’hyperbole (4 points)
- Comme \(h > -2\), le réel \(2 + h\) est strictement positif, donc \(g(2 + h)\) existe. On réduit d’abord au même dénominateur :
\(g(2 + h) – g(2) = \frac{1}{2 + h} – \frac{1}{2} = \frac{2 – (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)}\).
Puis on divise par \(h\), qui est non nul : \(\frac{g(2 + h) – g(2)}{h} = \frac{-h}{2(2 + h)} \times \frac{1}{h}\). Le taux de variation vaut donc \(\frac{-1}{2(2 + h)}\). - Quand \(h\) tend vers 0, \(2(2 + h)\) tend vers 4, alors le taux tend vers \(-\frac{1}{4}\). Ainsi \(g^{\prime}(2) = -\frac{1}{4}\). De plus, \(g(2) = \frac{1}{2}\), d’où :
\(y = -\frac{1}{4}(x – 2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\).
La tangente \(T\) a pour équation \(y = -\frac{1}{4}x + 1\). - Sur l’axe des abscisses, \(y = 0\) : \(-\frac{1}{4}x + 1 = 0\), donc \(x = 4\). Sur l’axe des ordonnées, \(x = 0\), donc \(y = 1\). On obtient \(P(4\,;\,0)\) et \(Q(0\,;\,1)\).
- Le triangle \(OPQ\) est rectangle en \(O\), car les axes du repère orthonormé sont perpendiculaires. Son aire vaut donc \(\frac{OP \times OQ}{2} = \frac{4 \times 1}{2} = 2\). L’aire du triangle \(OPQ\) est égale à 2 unités d’aire.
Exercice 5 – Le tremplin de Yanis (4 points)
- On calcule \(t(4) = \frac{4^2}{8} = \frac{16}{8} = 2\). Le sommet \(S\) du tremplin est à 2 m de hauteur.
- Pour \(h \neq 0\), on a \(t(4 + h) = \frac{16 + 8h + h^2}{8}\).
Donc \(t(4 + h) – t(4) = \frac{16 + 8h + h^2 – 16}{8} = \frac{8h + h^2}{8}\).
Le taux de variation vaut alors \(\frac{8h + h^2}{8h} = \frac{8 + h}{8} = 1 + \frac{h}{8}\).
Quand \(h\) tend vers 0, \(\frac{h}{8}\) tend vers 0. Par conséquent, \(t^{\prime}(4) = 1\). - La tangente en \(S\) a pour équation \(y = t^{\prime}(4)(x – 4) + t(4) = 1 \times (x – 4) + 2\). Elle a donc pour équation \(y = x – 2\).
- À l’abscisse 6, la tangente atteint la hauteur \(6 – 2 = 4\) m. Or la barrière mesure \(3{,}5\) m, et \(4 – 3{,}5 = 0{,}5\). Avec ce modèle, le vélo passe au-dessus de la barrière, avec une marge de \(0{,}5\) m.
Piège classique : utiliser la hauteur du tremplin prolongé, \(t(6) = 4{,}5\), au lieu de la tangente. Pourtant, après le saut, le vélo ne suit plus la courbe du tremplin.
À retenir de ce contrôle
- Le taux de variation de f entre a et a + h vaut f(a + h) − f(a) divisé par h, et h doit rester non nul.
- Si ce taux a une limite réelle quand h tend vers 0, la fonction est dérivable en a et cette limite est f'(a).
- Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
- La tangente au point d’abscisse a a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a).
- Deux tangentes sont parallèles lorsque les nombres dérivés aux deux points de contact sont égaux.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider nombre dérivé et équation de tangente après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon dérivée d’une fonction ; entraîne-toi sur la fiche dérivée.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en première.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «nombre dérivé et équation de tangente : corrigé du contrôle de maths en première» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Première
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
