Suites numériques et modélisation : contrôle de maths en première

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Ce qu’évalue le contrôle : suites numériques et modélisation

Le sujet du contrôle : suites numériques et modélisation

Exercice 1 – La pile de gobelets (3 points)

Dans une cantine, les gobelets en plastique sont rangés en piles. Un gobelet seul mesure \(12\text{ cm}\) de haut. Quand on pose un gobelet sur une pile, celle-ci gagne \(1{,}5\text{ cm}\) de hauteur, car il s’emboîte dans le précédent.

Pour tout entier \(n \geq 1\), on note \(h_n\) la hauteur en centimètres d’une pile de \(n\) gobelets. Ainsi, \(h_1 = 12\).

1. Calcule \(h_2\) et \(h_3\). (0,5 point)
2. Justifie que la suite \((h_n)\) est arithmétique, puis exprime \(h_n\) en fonction de \(n\). (1 point)
3. Montre qu’une pile de 31 gobelets mesure \(57\text{ cm}\). (0,5 point)
4. Le placard dispose d’une étagère haute de \(50\text{ cm}\). Détermine alors le nombre maximal de gobelets d’une pile qui tient sous cette étagère. (1 point)

Exercice 2 – Le livret d’épargne de Maëlle (3,5 points)

Le 1^er janvier 2026, Maëlle place \(2\,000\) € sur un livret rémunéré à \(3\,\%\) par an, à intérêts composés : chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital et rapportent à leur tour. Elle ne fait ensuite aucun retrait ni aucun dépôt.

On note \(u_n\) le capital, en euros, au 1^er janvier de l’année \(2026 + n\). Donc \(u_0 = 2\,000\).

1. Calcule \(u_1\) et \(u_2\). (1 point)
2. Explique pourquoi \((u_n)\) est une suite géométrique, puis donne l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). (1 point)
3. Étudie le sens de variation de la suite \((u_n)\). (1 point)
4. Quel capital Maëlle aura-t-elle au 1^er janvier 2036 ? Donne aussi le montant total des intérêts gagnés, au centime près. (0,5 point)

Exercice 3 – Les abonnés d’une plateforme (4 points)

Une plateforme de podcasts compte \(5\,000\) abonnés au début du mois de janvier 2026. D’après une étude, le nombre d’abonnés augmente ensuite de \(4\,\%\) chaque mois.

On note \(a_n\) le nombre d’abonnés au début du \(n\)-ième mois après janvier 2026 : ainsi \(a_0 = 5\,000\) (janvier 2026) et \(a_1\) correspond à février 2026.

1. Calcule \(a_1\) et \(a_2\). (0,5 point)
2. Exprime \(a_n\) en fonction de \(n\), puis précise le sens de variation de la suite \((a_n)\) en justifiant. (1 point)

La direction veut savoir quand le nombre d’abonnés dépassera un seuil \(S\). Pour cela, elle utilise la fonction Python ci-dessous, dont deux lignes sont incomplètes.

3. Recopie et complète les lignes 4 et 6 de la fonction. (1 point)
4. Quelle valeur renvoie l’appel seuil(10000) ? Justifie par un calcul, puis interprète ce résultat dans le contexte. (1,5 point)

Exercice 4 – Le parc de vélos en libre-service (6 points)

Au 1^er janvier 2026, une ville dispose de \(800\) vélos en libre-service. Chaque mois, \(10\,\%\) des vélos du parc sont retirés, car ils sont abîmés ou volés ; de plus, la ville en ajoute \(60\) neufs.

On note \(v_n\) le nombre de vélos au début du \(n\)-ième mois après janvier 2026, donc \(v_0 = 800\).

1. Calcule \(v_1\) et \(v_2\), puis justifie que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} = 0{,}9\,v_n + 60\). (1 point)
2. La figure ci-dessous montre les droites d’équations \(y = x\) et \(y = 0{,}9x + 60\), ainsi que le début d’une construction en escalier. Explique comment on obtient \(v_1\) à partir de \(v_0\) sur ce graphique, puis conjecture le sens de variation de \((v_n)\) et la valeur dont les termes semblent se rapprocher. (1 point)

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(w_n = v_n – 600\).

3. Démontre que la suite \((w_n)\) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme. (1,5 point)
4. Exprime \(w_n\) en fonction de \(n\), puis déduis-en que \(v_n = 600 + 200 \times 0{,}9^n\). (1 point)
5. Démontre que la suite \((v_n)\) est décroissante. (0,5 point)
6. La ville lance une campagne de réparation quand le parc passe sous \(650\) vélos. À partir de quel mois cela se produira-t-il ? (1 point)

Exercice 5 – Deux offres d’emploi pour Samir (3,5 points)

Samir hésite entre deux entreprises qui lui proposent un contrat de dix ans.

• Offre A : un salaire de \(24\,000\) € la première année, puis une hausse de \(600\) € par an.
• Offre B : un salaire de \(23\,000\) € la première année, puis une hausse de \(4\,\%\) par an.

On note \(A_n\) et \(B_n\) les salaires annuels de l’année numéro \(n + 1\) ; par exemple, \(A_0 = 24\,000\) et \(B_0 = 23\,000\).

Année	1re	2e	3e	4e	5e
Offre A (en €)	24 000	24 600
Offre B (en €)	23 000	23 920

1. Complète le tableau, en arrondissant au centime les salaires de l’offre B. (1 point)
2. À partir de quelle année le salaire de l’offre B dépasse-t-il celui de l’offre A ? (1 point)
3. Calcule la somme totale perçue sur les dix années avec chaque offre. Quelle offre Samir a-t-il donc intérêt à choisir ? (1,5 point)

Réviser suites numériques et modélisation avant le contrôle

Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon suites numériques ; entraîne-toi sur la fiche les suites et limites et variations de suites avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.

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