Propriétés de l’exponentielle : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « propriétés de l’exponentielle », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet fait le point sur les propriétés de l’exponentielle, sans calculatrice, comme dans la nouvelle épreuve anticipée. D’abord, tu simplifies des expressions avec les règles de calcul sur les puissances. Ensuite, tu résous des équations et des inéquations en t’appuyant sur la stricte croissance de la fonction exponentielle.
Deux exercices graphiques portent alors sur la tangente en 0 et sur les fonctions \(x \mapsto \mathrm{e}^{kx}\). Enfin, une étude complète te fait calculer une dérivée, dresser un tableau de variations et trouver une tangente. Fais ce contrôle juste après le chapitre, en général vers le mois de janvier.
Ce qu’évalue le contrôle : propriétés de l’exponentielle
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Fonction exponentielle (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Simplifier une expression à l’aide des règles de calcul sur l’exponentielle
- Résoudre des équations et des inéquations en comparant les exposants de deux exponentielles
- Interpréter la tangente en 0 à la courbe de l’exponentielle et l’approximation affine associée
- Dériver x ↦ exp(ax + b) et un produit d’un polynôme par une exponentielle
- Étudier le signe et les variations d’une fonction faisant intervenir l’exponentielle
Avant de commencer le devoir
Avant chaque calcul, écris la règle utilisée, par exemple \(\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a+b}\), car la plupart des erreurs viennent d’un signe oublié. Pour les équations, compare les exposants dès que les deux membres sont des exponentielles. Dans l’étude de fonction, rappelle-toi aussi que \(\mathrm{e}^{x}\) est toujours strictement positif : le signe de la dérivée dépend donc seulement de l’autre facteur. Enfin, relis chaque résultat en testant une valeur simple.
Le sujet du contrôle : propriétés de l’exponentielle
Exercice 1 – Règles de calcul (4 points)
Écris chaque expression sous la forme \(\mathrm{e}^{a}\), avec un exposant \(a\) le plus simple possible, en détaillant les étapes. Ici, \(x\) désigne un nombre réel quelconque.
- \(A = \dfrac{\mathrm{e}^{5} \times \mathrm{e}^{-2}}{\mathrm{e}^{4}}\)
- \(B = \left(\mathrm{e}^{2x}\right)^{3} \times \mathrm{e}^{-4x}\)
- \(C = \dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{\mathrm{e}^{1-x}}\)
- Démontre enfin que, pour tout réel \(x\), \(\left(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}\right)^2 – \left(\mathrm{e}^{x} – \mathrm{e}^{-x}\right)^2 = 4\).
Exercice 2 – Équations et inéquations (4 points)
Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations et l’inéquation suivantes.
- \(\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{x+3}\)
- \(\mathrm{e}^{x^2} = \mathrm{e}^{3x-2}\)
- \(\mathrm{e}^{1-2x} < \mathrm{e}^{x+7}\)
- \(\mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e} = 0\)
Exercice 3 – La courbe et sa tangente en 0 (3 points)
On a tracé la courbe de la fonction exponentielle et sa tangente \(T\) au point \(A\) d’abscisse 0.
- Justifie par le calcul que \(T\) a pour équation \(y = x + 1\).
- D’après le graphique, quelle inégalité relie \(\mathrm{e}^{x}\) et \(x + 1\) pour tout réel \(x\) ?
- Déduis-en alors une valeur approchée de \(\mathrm{e}^{0{,}1}\) grâce à la tangente.
- Sans calculatrice, compare \(\mathrm{e}^{-3}\) et \(\mathrm{e}^{-2{,}5}\), puis justifie ta réponse.
Exercice 4 – Trois courbes à reconnaître (3 points)
Pour un réel \(k\), on note \(f_k\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_k(x) = \mathrm{e}^{kx}\). Les courbes \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\) et \(\Gamma_3\) ci-dessous représentent \(f_{-1}\), \(f_{0{,}5}\) et \(f_{2}\), mais dans le désordre.
- Explique pourquoi les trois courbes passent par le même point.
- Calcule \(f_k^{\prime}(x)\), puis donne le sens de variation de \(f_k\) selon le signe de \(k\).
- Associe chaque fonction à sa courbe. Pour cela, utilise le sens de variation, ainsi que le coefficient directeur de la tangente en 0.
Exercice 5 – Dérivées et variations (6 points)
Partie A. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \mathrm{e}^{-2x+3}\).
- Calcule \(g^{\prime}(x)\), puis déduis-en le sens de variation de \(g\).
Partie B. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (2x – 3)\mathrm{e}^{x}\).
- Montre que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (2x – 1)\mathrm{e}^{x}\).
- Étudie le signe de \(f^{\prime}(x)\), puis dresse le tableau de variations de \(f\) (sans les limites). Précise la valeur exacte du minimum.
- Résous l’équation \(f(x) = 0\), et donne ensuite le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\).
- Détermine enfin une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 0.
Réviser propriétés de l’exponentielle avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon fonction exponentielle avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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