Propriétés de l’exponentielle : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « propriétés de l’exponentielle », question par question.
Cette correction rédige chaque réponse comme sur une copie de première. Pour les simplifications, elle cite d’abord la règle de calcul employée, puis regroupe les exposants ligne par ligne. Les équations et inéquations sont justifiées par la stricte croissance de l’exponentielle, ce que les correcteurs attendent explicitement.
Dans l’étude de fonction, la formule de dérivation d’un produit est développée en entier, et un tableau de variations dessiné résume la conclusion. Compare donc ta copie question par question, puis estime ta note avec le barème. Enfin, lis les pièges signalés, car ils reviennent souvent en automatismes.
L’énoncé complet se trouve ici : Propriétés de l’exponentielle : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : propriétés de l’exponentielle
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Règles de calcul | 4 points |
| 2. Équations et inéquations | 4 points |
| 3. La courbe et sa tangente en 0 | 3 points |
| 4. Trois courbes à reconnaître | 3 points |
| 5. Dérivées et variations | 6 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : propriétés de l’exponentielle
Exercice 1 – Règles de calcul (4 points)
- On regroupe d’abord le numérateur, puis on divise :
\(A = \dfrac{\mathrm{e}^{5 + (-2)}}{\mathrm{e}^{4}} = \dfrac{\mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}} = \mathrm{e}^{3 – 4}\).
\(A = \mathrm{e}^{-1}\). - On utilise \(\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}\), puis la règle du produit :
\(B = \mathrm{e}^{6x} \times \mathrm{e}^{-4x} = \mathrm{e}^{6x – 4x}\).
\(B = \mathrm{e}^{2x}\). - Le quotient donne une différence d’exposants, sans oublier les parenthèses :
\(C = \mathrm{e}^{(x + 1) – (1 – x)} = \mathrm{e}^{x + 1 – 1 + x}\).
\(C = \mathrm{e}^{2x}\). - On pose \(a = \mathrm{e}^{x}\) et \(b = \mathrm{e}^{-x}\). Alors \((a + b)^2 – (a – b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + 2ab – b^2 = 4ab\). Or \(ab = \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{0} = 1\). L’expression vaut donc \(4 \times 1 = 4\) pour tout réel \(x\).
Piège classique : écrire \(\mathrm{e}^{x + 1 – 1 – x} = \mathrm{e}^{0}\) dans \(C\). En effet, le signe moins porte sur tout l’exposant \(1 – x\), donc \(-(1 – x) = -1 + x\).
Exercice 2 – Équations et inéquations (4 points)
- La fonction exponentielle est strictement croissante, donc \(\mathrm{e}^{u} = \mathrm{e}^{v}\) équivaut à \(u = v\). Ainsi \(2x – 1 = x + 3\), d’où \(x = 4\). \(S = \{4\}\).
- De même, l’équation équivaut à \(x^2 = 3x – 2\), soit \(x^2 – 3x + 2 = 0\). Alors \(\Delta = 9 – 8 = 1\), puis \(x_1 = \frac{3 – 1}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\). \(S = \{1 \,;\, 2\}\).
- Comme l’exponentielle est strictement croissante, l’inéquation équivaut à \(1 – 2x < x + 7\). Donc \(-3x < 6\), puis \(x > -2\) (on divise par \(-3\), qui est négatif, donc on change le sens). \(S = \,]-2 \,;\, +\infty[\).
- On écrit \(\mathrm{e} = \mathrm{e}^{1}\) : l’équation devient \(\mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{1}\), donc \(2x = 1\). \(S = \left\{\frac{1}{2}\right\}\).
Piège classique : oublier de changer le sens de l’inégalité en divisant par \(-3\). Pour vérifier, teste \(x = 0\) : \(\mathrm{e}^{1} < \mathrm{e}^{7}\) est vrai, et 0 appartient bien à \(]-2 \,;\, +\infty[\).
Exercice 3 – La courbe et sa tangente en 0 (3 points)
- La fonction exponentielle est sa propre dérivée, donc le coefficient directeur de la tangente en 0 vaut \(\mathrm{e}^{0} = 1\). De plus, la courbe passe par \(A(0 \,;\, 1)\). L’équation est \(y = 1 \times (x – 0) + 1\). \(T : y = x + 1\).
- La courbe est toujours au-dessus de sa tangente \(T\), et elle la touche seulement en \(A\). Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x} \geq x + 1\).
- Près de 0, la courbe et la tangente sont très proches, donc \(\mathrm{e}^{0{,}1} \approx 0{,}1 + 1\). \(\mathrm{e}^{0{,}1} \approx 1{,}1\).
- On a \(-3 < -2{,}5\). Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle conserve donc l’ordre. \(\mathrm{e}^{-3} < \mathrm{e}^{-2{,}5}\).
Exercice 4 – Trois courbes à reconnaître (3 points)
- Pour tout réel \(k\), \(f_k(0) = \mathrm{e}^{k \times 0} = \mathrm{e}^{0} = 1\). Les trois courbes passent donc par le point de coordonnées \((0 \,;\, 1)\).
- La dérivée de \(x \mapsto \mathrm{e}^{kx}\) est \(f_k^{\prime}(x) = k\,\mathrm{e}^{kx}\). Comme \(\mathrm{e}^{kx} > 0\), le signe de \(f_k^{\prime}(x)\) est celui de \(k\). Si \(k > 0\), \(f_k\) est strictement croissante ; si \(k < 0\), elle est strictement décroissante.
- D’abord, seule \(f_{-1}\) est décroissante, car \(-1 < 0\) : c’est \(\Gamma_2\). Ensuite, la tangente en 0 a pour coefficient directeur \(f_k^{\prime}(0) = k\). Ainsi, la courbe croissante la plus raide en 0 correspond au plus grand \(k\). \(f_{-1} \to \Gamma_2\), \(f_{2} \to \Gamma_3\) et \(f_{0{,}5} \to \Gamma_1\).
Exercice 5 – Dérivées et variations (6 points)
- La dérivée de \(x \mapsto \mathrm{e}^{ax+b}\) est \(x \mapsto a\,\mathrm{e}^{ax+b}\). Ici \(a = -2\), donc \(g^{\prime}(x) = -2\,\mathrm{e}^{-2x+3}\). Puisqu’une exponentielle est strictement positive, \(g^{\prime}(x) < 0\). La fonction \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
- On pose \(u(x) = 2x – 3\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{x}\), d’où \(u^{\prime}(x) = 2\) et \(v^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}\). Avec la formule \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) :
\(f^{\prime}(x) = 2\mathrm{e}^{x} + (2x – 3)\mathrm{e}^{x}\)
\(= (2 + 2x – 3)\mathrm{e}^{x}\).
Donc \(f^{\prime}(x) = (2x – 1)\mathrm{e}^{x}\). - Comme \(\mathrm{e}^{x} > 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(2x – 1\), qui s’annule en \(\frac{1}{2}\). Ainsi \(f^{\prime}(x) < 0\) avant \(\frac{1}{2}\) et \(f^{\prime}(x) > 0\) après. Le minimum vaut \(f\left(\frac{1}{2}\right) = (1 – 3)\mathrm{e}^{\frac{1}{2}} = -2\,\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\). \(f\) décroît sur \(]-\infty \,;\, \frac{1}{2}]\), puis croît sur \([\frac{1}{2} \,;\, +\infty[\), avec un minimum égal à \(-2\sqrt{\mathrm{e}}\).
- Puisque \(\mathrm{e}^{x} \neq 0\), \(f(x) = 0\) équivaut à \(2x – 3 = 0\), c’est-à-dire \(x = \frac{3}{2}\). De plus, \(f(x)\) a le signe de \(2x – 3\). \(S = \left\{\frac{3}{2}\right\}\) ; \(f(x) < 0\) pour \(x < \frac{3}{2}\) et \(f(x) > 0\) pour \(x > \frac{3}{2}\).
- On calcule \(f(0) = (0 – 3)\mathrm{e}^{0} = -3\) et \(f^{\prime}(0) = (0 – 1)\mathrm{e}^{0} = -1\). La tangente a pour équation \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\). \(y = -x – 3\).
Piège classique : dériver \(\mathrm{e}^{-2x+3}\) en \(\mathrm{e}^{-2x+3}\) sans le facteur \(-2\). Pourtant, la formule \((\mathrm{e}^{u})^{\prime} = u^{\prime}\mathrm{e}^{u}\) impose de multiplier par la dérivée de l’exposant.
À retenir de ce contrôle
- Pour tous réels a et b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b), exp(−a) = 1/exp(a) et exp(na) = (exp(a))^n.
- La fonction exponentielle est strictement croissante, donc comparer exp(u) et exp(v) revient à comparer u et v, dans le même ordre.
- La dérivée de x ↦ exp(ax + b) est x ↦ a exp(ax + b), et son signe est donc celui de a.
- Comme exp(x) est toujours strictement positif, le signe d’un produit P(x) × exp(x) est celui du facteur P(x).
- Près de 0, la tangente y = x + 1 donne l’approximation affine exp(h) ≈ 1 + h pour h petit.
Revenir à l’énoncé du contrôle
Consolider propriétés de l’exponentielle après ce corrigé
Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon fonction exponentielle.
D’autres évaluations corrigées t’attendent sur la page contrôles de maths en première.
Autres corrigés sur le même thème
Télécharger ou imprimer cette fiche «propriétés de l'exponentielle : corrigé du contrôle de maths en première» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Première
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
