Suites géométriques et exponentielle : corrigé du contrôle de maths en première

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Barème du contrôle corrigé : suites géométriques et exponentielle

Le corrigé détaillé : suites géométriques et exponentielle

Exercice 1 – Automatismes sans calculatrice (4 points)

1. D’abord, \(\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{3} = \mathrm{e}^{6}\).
   Puis \(\mathrm{e}^{6} \times \mathrm{e}^{-1} = \mathrm{e}^{5}\).
   Enfin \(\dfrac{\mathrm{e}^{5}}{\mathrm{e}^{4}} = \mathrm{e}^{5-4} = \mathrm{e}^{1}\).
   Donc \(A = \mathrm{e}\).
2. Pour passer de \(v_1\) à \(v_4\), on multiplie trois fois par la raison.
   Ainsi \(v_4 = v_1 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = 6 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8}\).
   Par conséquent, \(v_4 = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).
3. On reconnaît la somme des puissances de 3, de \(3^0\) jusqu’à \(3^6\).
   Or \(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 = \dfrac{1 – q^{7}}{1 – q}\) quand \(q \neq 1\).
   Donc \(S = \dfrac{1 – 3^{7}}{1 – 3} = \dfrac{1 – 2187}{-2} = \dfrac{-2186}{-2}\).
   Ainsi \(S = 1\,093\).
4. Deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux.
   Donc \(2x – 1 = x + 3\), c’est-à-dire \(x = 4\).
   L’ensemble des solutions est \(\{4\}\).

Barème : Q1 : 1 point (0,5 pour une règle bien appliquée, 0,5 pour le résultat) ; Q2 : 1 point ; Q3 : 1 point (0,5 pour la formule de la somme, 0,5 pour le résultat) ; Q4 : 1 point (0,5 pour l’égalité des exposants, 0,5 pour la solution).

Piège classique : écrire \(\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{3} = \mathrm{e}^{5}\). En effet, une puissance de puissance multiplie les exposants, elle ne les additionne pas.

Exercice 2 – Une suite née de l’exponentielle (4 points)

1. \(w_0 = \mathrm{e}^{1 – 0} = \mathrm{e}\) et \(w_1 = \mathrm{e}^{1 – 0{,}4} = \mathrm{e}^{0{,}6}\).
   Donc \(w_0 = \mathrm{e}\) et \(w_1 = \mathrm{e}^{0{,}6}\).
2. Pour tout entier naturel \(n\) :
   \(w_{n+1} = \mathrm{e}^{1 – 0{,}4(n+1)} = \mathrm{e}^{1 – 0{,}4n – 0{,}4}\).
   Or \(\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}\), donc \(w_{n+1} = \mathrm{e}^{1 – 0{,}4n} \times \mathrm{e}^{-0{,}4} = \mathrm{e}^{-0{,}4} \times w_n\).
   La suite \((w_n)\) est donc géométrique, de premier terme \(w_0 = \mathrm{e}\) et de raison \(q = \mathrm{e}^{-0{,}4}\).
3. Comme \(-0{,}4 < 0\), on a \(0 < \mathrm{e}^{-0{,}4} < 1\) ; de plus, le premier terme \(w_0 = \mathrm{e}\) est strictement positif. Par conséquent, la suite \((w_n)\) est strictement décroissante.
4. La somme des dix premiers termes d’une suite géométrique vaut premier terme fois \(\dfrac{1 – q^{10}}{1 – q}\).
   Ici \(q^{10} = \left(\mathrm{e}^{-0{,}4}\right)^{10} = \mathrm{e}^{-4}\).
   Donc \(T = \mathrm{e} \times \dfrac{1 – \mathrm{e}^{-4}}{1 – \mathrm{e}^{-0{,}4}}\).
   Ainsi \(T = \dfrac{\mathrm{e}\left(1 – \mathrm{e}^{-4}\right)}{1 – \mathrm{e}^{-0{,}4}} \approx 8{,}09\).

Barème : Q1 : 0,5 point ; Q2 : 1 point (0,5 pour le calcul de \(w_{n+1}\), 0,5 pour la conclusion avec premier terme et raison) ; Q3 : 1 point (0,5 pour la raison entre 0 et 1, 0,5 pour la conclusion) ; Q4 : 1,5 point (0,5 pour la formule, 0,5 pour \(\mathrm{e}^{-4}\), 0,5 pour la valeur approchée).

Piège classique : compter neuf termes au lieu de dix. De \(w_0\) à \(w_9\), il y a bien dix termes, donc l’exposant de \(q\) vaut 10.

Exercice 3 – Les truites de l’étang (6 points)

1. Augmenter de 20 % revient à multiplier par \(1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2\). Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 1{,}2\,u_n\).
   La suite \((u_n)\) est ainsi géométrique, de premier terme \(u_0 = 2\) et de raison \(1{,}2\).
   Pour tout \(n\), \(u_n = 2 \times 1{,}2^{n}\).
2. \(u_5 = 2 \times 1{,}2^{5} = 2 \times 2{,}48832 = 4{,}97664\).
   Selon le modèle discret, l’étang compte environ 4 977 truites au 1er janvier 2031.
3. La dérivée de \(t \mapsto \mathrm{e}^{kt}\) est \(t \mapsto k\,\mathrm{e}^{kt}\).
   Donc \(f^{\prime}(t) = 2 \times 0{,}18\,\mathrm{e}^{0{,}18t} = 0{,}36\,\mathrm{e}^{0{,}18t}\).
   Or une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(f^{\prime}(t) > 0\).
   Par conséquent, \(f\) est strictement croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\).
4. Pour tout entier naturel \(n\), \(f(n) = 2\,\mathrm{e}^{0{,}18n} = 2 \times \left(\mathrm{e}^{0{,}18}\right)^{n}\), car \(\mathrm{e}^{na} = \left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}\).
   La suite \(\left(f(n)\right)\) est donc géométrique de raison \(\mathrm{e}^{0{,}18} \approx 1{,}1972\).
   Ainsi \(\mathrm{e}^{0{,}18} < 1{,}2\). Comme ces deux nombres sont positifs, \(\left(\mathrm{e}^{0{,}18}\right)^{n} < 1{,}2^{n}\) pour tout \(n \geq 1\).
   Donc \(f(n) < u_n\) pour \(n \geq 1\) : le modèle discret prévoit toujours plus de truites.
5. On trace la droite d’équation \(y = 6\) ; elle coupe la courbe de \(f\) en un point d’abscisse proche de 6,1.
   

   

   La population atteint 6 000 truites au bout d’environ 6,1 années, donc début 2032.

6. \(u_8 = 2 \times 1{,}2^{8} \approx 8{,}600\) et \(f(8) = 2\,\mathrm{e}^{1{,}44} \approx 8{,}441\).
   L’écart vaut \(8{,}600 – 8{,}441 = 0{,}159\) millier, soit environ 158 truites avec les valeurs non arrondies.
   Cela représente moins de 2 % de la population. Les deux modèles restent donc très proches sur huit ans, avec un écart d’environ 158 truites.

Barème : Q1 : 1 point (0,5 pour le coefficient multiplicateur, 0,5 pour la formule) ; Q2 : 0,5 point ; Q3 : 1 point (0,5 pour la dérivée, 0,5 pour le signe et la conclusion) ; Q4 : 1,5 point (0,5 pour l’écriture de \(f(n)\), 0,5 pour la comparaison des raisons, 0,5 pour la conclusion) ; Q5 : 1 point (on accepte de 6 à 6,2) ; Q6 : 1 point (0,5 pour les calculs, 0,5 pour l’écart commenté).

Piège classique : croire que \(2\,\mathrm{e}^{0{,}18t}\) et \(2 \times 1{,}2^{t}\) coïncident, car \(0{,}18\) ressemble à 20 %. Pourtant \(\mathrm{e}^{0{,}18} \approx 1{,}197\) : le taux annuel du modèle continu vaut environ 19,7 %.

Exercice 4 – Un seuil cherché en Python (3 points)

1. La boucle doit tourner tant que la population reste sous le seuil, puis chaque passage multiplie \(u\) par \(1{,}2\).
   

   

   Ligne 4 : while u < 10 : ; ligne 6 : u = 1.2 * u.

2. D’après le tableau, \(u_8 \approx 8{,}600 < 10\), donc la boucle continue. En revanche, \(u_9 \approx 10{,}320 \geq 10\), si bien que la boucle s’arrête avec \(n = 9\).
   La fonction renvoie 9.
3. Comme \(2026 + 9 = 2035\), le modèle discret prévoit plus de 10 000 truites à partir du 1er janvier 2035 : l’étang ne pourra plus toutes les nourrir.
4. On remplace 10 par 12 dans la ligne 4, qui devient while u < 12 :. Alors \(u_9 \approx 10{,}320 < 12\) mais \(u_{10} \approx 12{,}383 \geq 12\).
   La fonction renvoie alors 10.

Barème : Q1 : 1 point (0,5 par ligne) ; Q2 : 1 point (0,5 pour la justification avec le tableau, 0,5 pour la valeur 9) ; Q3 : 0,5 point ; Q4 : 0,5 point (0,25 pour la modification, 0,25 pour la valeur 10).

Piège classique : écrire while u > 10. Or la condition d’une boucle while est celle qui fait continuer : avec \(u = 2\) au départ, la boucle ne tournerait jamais.

Exercice 5 – La lumière sous la mer (3 points)

1. Pour tout réel \(x \geq 0\) :
   \(L(x+1) = 100\,\mathrm{e}^{-0{,}1x – 0{,}1} = \mathrm{e}^{-0{,}1} \times 100\,\mathrm{e}^{-0{,}1x} = \mathrm{e}^{-0{,}1} \times L(x)\).
   De plus, \(\mathrm{e}^{-0{,}1} \approx 0{,}9048\) et \(1 – 0{,}9048 = 0{,}0952\).
   Chaque mètre supplémentaire fait donc baisser l’intensité lumineuse d’environ 9,5 %.
2. Pour tout entier naturel \(k\), \(p_{k+1} = L(5k + 5) = 100\,\mathrm{e}^{-0{,}5k – 0{,}5} = \mathrm{e}^{-0{,}5} \times p_k\).
   Ainsi \((p_k)\) est géométrique, de premier terme \(p_0 = 100\) et de raison \(\mathrm{e}^{-0{,}5} \approx 0{,}607\).
   Ensuite \(p_2 = L(10) = 100\,\mathrm{e}^{-1} \approx 36{,}8\).
   À 10 mètres, il reste environ 36,8 % de la lumière de surface.
3. \(L^{\prime}(x) = 100 \times (-0{,}1)\,\mathrm{e}^{-0{,}1x} = -10\,\mathrm{e}^{-0{,}1x}\). Comme \(\mathrm{e}^{-0{,}1x} > 0\), on obtient \(L^{\prime}(x) < 0\), donc \(L\) est strictement décroissante.
   À la calculatrice, \(L(13) \approx 27{,}3 \geq 25\) alors que \(L(14) \approx 24{,}7 < 25\).
   Puisque \(L\) décroît, l’intensité reste au moins égale à 25 % jusqu’à une profondeur comprise entre 13 et 14 mètres. Au mètre près, Salomé peut photographier sans flash jusqu’à 13 mètres de profondeur.

Barème : Q1 : 1 point (0,5 pour l’égalité, 0,5 pour le pourcentage) ; Q2 : 1 point (0,5 pour la nature de la suite, 0,5 pour \(p_2\)) ; Q3 : 1 point (0,5 pour la décroissance, 0,5 pour la profondeur justifiée).

Piège classique : annoncer une baisse de 10 % par mètre en lisant le \(0{,}1\) de l’exposant. En réalité, on multiplie par \(\mathrm{e}^{-0{,}1} \approx 0{,}905\), soit une baisse de 9,5 % environ.

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