Exponentielle et modèles d’évolution : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « exponentielle et modèles d’évolution », question par question.
Cette correction détaille la démarche attendue sur chaque modèle exponentiel. Pour les suites, elle écrit le quotient ou la relation de récurrence qui prouve la nature géométrique. Pour les trois problèmes, elle donne la dérivée, justifie son signe, puis rédige une conclusion dans le contexte.
Les seuils sont encadrés à l’aide de valeurs calculées, car le logarithme n’est pas au programme de première : les tableaux de valeurs utiles sont donc écrits en entier. La courbe du refroidissement est aussi complétée par la lecture graphique attendue. Compare ta copie étape par étape, puis compte tes points avec le barème. Enfin, les pièges signalés portent sur les arrondis et sur le sens d’un pourcentage de baisse, deux erreurs fréquentes.
L’énoncé complet se trouve ici : Exponentielle et modèles d’évolution : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : exponentielle et modèles d’évolution
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Des suites venues de l’exponentielle | 4 points |
| 2. Le chocolat chaud qui refroidit | 6 points |
| 3. Un médicament dans le sang | 5 points |
| 4. La culture de bactéries | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : exponentielle et modèles d’évolution
Exercice 1 – Des suites venues de l’exponentielle (4 points)
- \(u_0 = \mathrm{e}^{0} = 1\).
Puis \(u_5 = \mathrm{e}^{0{,}2 \times 5} = \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}\).
Donc \(u_0 = 1\) et \(u_5 = \mathrm{e} \approx 2{,}72\). - Pour tout entier naturel \(n\) :
\(u_{n+1} = \mathrm{e}^{0{,}2(n+1)} = \mathrm{e}^{0{,}2n + 0{,}2}\).
Or \(\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}\), donc \(u_{n+1} = \mathrm{e}^{0{,}2} \times u_n\).
La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = \mathrm{e}^{0{,}2} \approx 1{,}22\) et de premier terme \(u_0 = 1\). - La raison \(\mathrm{e}^{0{,}2}\) est strictement supérieure à 1, car \(0{,}2 > 0\). De plus, le premier terme \(u_0 = 1\) est positif. Par conséquent, la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
- De la même manière, \(v_{n+1} = 5\,\mathrm{e}^{-0{,}5n – 0{,}5} = \mathrm{e}^{-0{,}5} \times v_n\).
Ainsi \((v_n)\) est géométrique, de premier terme \(v_0 = 5\) et de raison \(\mathrm{e}^{-0{,}5} \approx 0{,}61\).
Cette raison est comprise entre 0 et 1, et \(v_0 > 0\). Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(\mathrm{e}^{-0{,}5}\) et strictement décroissante.
Piège classique : écrire \(\mathrm{e}^{0{,}2(n+1)} = \mathrm{e}^{0{,}2n} + \mathrm{e}^{0{,}2}\). En effet, l’exponentielle transforme une somme en produit, et non en somme.
Exercice 2 – Le chocolat chaud qui refroidit (6 points)
- Au moment du service, \(t = 0\) :
\(T(0) = 20 + 70 \times \mathrm{e}^{0} = 20 + 70 = 90\).
Le chocolat est servi à 90 °C. - La dérivée de \(t \mapsto \mathrm{e}^{-0{,}1t}\) est \(t \mapsto -0{,}1\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\), et la constante 20 a pour dérivée 0.
Donc \(T^{\prime}(t) = 70 \times (-0{,}1)\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} = -7\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\).
Une exponentielle est toujours strictement positive, alors \(T^{\prime}(t) < 0\) pour tout \(t \geq 0\).
La fonction \(T\) est strictement décroissante sur \([0 \,;\, +\infty[\) : le chocolat refroidit sans cesse. - \(T(10) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-1}\).
À la calculatrice, \(70\,\mathrm{e}^{-1} \approx 25{,}75\), donc \(T(10) \approx 45{,}75\).
Au bout de 10 minutes, le chocolat est à environ \(45{,}8\) °C. - On trace la droite horizontale d’ordonnée 60 jusqu’à la courbe, puis on descend vers l’axe du temps. On lit une abscisse proche de \(5{,}6\).
Le chocolat atteint 60 °C au bout d’environ 6 minutes.
- La fonction \(T\) est décroissante, donc on cherche la première valeur entière de \(t\) qui passe sous 50.
\(T(8) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}8} \approx 51{,}5\), qui est supérieur à 50.
\(T(9) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}9} \approx 48{,}5\), qui est inférieur à 50.
Maëlle peut boire son chocolat à partir de 9 minutes. - Pour tout \(t \geq 0\), \(\mathrm{e}^{-0{,}1t} > 0\), donc \(70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} > 0\).
Ainsi \(T(t) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} > 20\).
Le chocolat ne descend jamais sous la température de la pièce. De plus, \(\mathrm{e}^{-0{,}1t}\) devient très petit quand \(t\) grandit, c’est pourquoi la courbe se rapproche de la droite \(y = 20\).
Piège classique : à la question 2, oublier le coefficient \(-0{,}1\) en dérivant \(\mathrm{e}^{-0{,}1t}\). On obtiendrait alors une dérivée positive, ce qui contredit pourtant la courbe.
Exercice 3 – Un médicament dans le sang (5 points)
- \(C(0) = 12 \times \mathrm{e}^{0} = 12\). Juste après l’injection, la concentration vaut 12 mg/L.
- Pour tout \(t \geq 0\) :
\(C(t + 4) = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}25(t + 4)} = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}25t – 1}\).
Donc \(C(t + 4) = \mathrm{e}^{-1} \times 12\,\mathrm{e}^{-0{,}25t} = \mathrm{e}^{-1} \times C(t)\).
Or \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}3679\) et \(1 – 0{,}3679 = 0{,}6321\).
Toutes les 4 heures, la concentration baisse d’environ \(63{,}2\,\%\). - \(C^{\prime}(t) = 12 \times (-0{,}25)\,\mathrm{e}^{-0{,}25t} = -3\,\mathrm{e}^{-0{,}25t}\).
Comme \(\mathrm{e}^{-0{,}25t} > 0\), on a \(C^{\prime}(t) < 0\). La fonction \(C\) est donc strictement décroissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). - Pour tout entier \(n\), \(c_{n+1} = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}25n – 0{,}25} = \mathrm{e}^{-0{,}25} \times c_n\).
Ainsi \((c_n)\) est géométrique de raison \(\mathrm{e}^{-0{,}25} \approx 0{,}7788\).
Puis \(1 – 0{,}7788 = 0{,}2212\). Chaque heure, la concentration baisse d’environ \(22{,}1\,\%\). - La fonction \(C\) est décroissante. D’abord, on calcule \(C(5) \approx 3{,}44\) et \(C(6) \approx 2{,}68\) : le seuil est entre 5 et 6 heures.
Ensuite, on affine : \(C(5{,}5) \approx 3{,}03\), qui est supérieur à 3, et \(C(5{,}6) \approx 2{,}96\), qui est inférieur à 3.
Le médicament reste efficace pendant une durée comprise entre \(5{,}5\) et \(5{,}6\) heures.
Piège classique : à la question 2, annoncer une baisse de \(36{,}8\,\%\). Or multiplier par \(0{,}368\) revient à garder \(36{,}8\,\%\) de la concentration, donc à en perdre \(63{,}2\,\%\).
Exercice 4 – La culture de bactéries (5 points)
- À la calculatrice, on obtient les valeurs arrondies au dixième :
\(f(1) = 2\,\mathrm{e}^{0{,}4} \approx 3{,}0\) ; \(f(2) = 2\,\mathrm{e}^{0{,}8} \approx 4{,}5\) ; \(f(3) = 2\,\mathrm{e}^{1{,}2} \approx 6{,}6\).
Puis \(f(4) = 2\,\mathrm{e}^{1{,}6} \approx 9{,}9\) et \(f(5) = 2\,\mathrm{e}^{2} \approx 14{,}8\).
Le modèle donne environ 3,0 ; 4,5 ; 6,6 ; 9,9 et 14,8 milliers de bactéries. - Les écarts avec les mesures valent 0 en \(t = 0\), puis \(0{,}1\) ; \(0{,}1\) ; \(0{,}1\) ; \(0{,}2\) et \(0{,}2\). Le plus grand écart est donc \(0{,}2\) millier, qui est inférieur à \(0{,}5\). Le modèle est acceptable selon le critère d’Inès.
- \(f^{\prime}(t) = 2 \times 0{,}4\,\mathrm{e}^{0{,}4t} = 0{,}8\,\mathrm{e}^{0{,}4t}\).
Une exponentielle est strictement positive, donc \(f^{\prime}(t) > 0\). La fonction \(f\) est strictement croissante : la culture grandit sans cesse. - La fonction \(f\) est croissante, alors il suffit de trouver le premier entier qui dépasse 50.
\(f(8) = 2\,\mathrm{e}^{3{,}2} \approx 49{,}1\), qui reste inférieur à 50.
\(f(9) = 2\,\mathrm{e}^{3{,}6} \approx 73{,}2\), qui dépasse 50.
Selon le modèle, la culture dépasse 50 milliers de bactéries au bout de 9 heures entières (le seuil est franchi entre la 8e et la 9e heure).
Piège classique : à la question 4, s’arrêter à 8 heures parce que \(f(8)\) est proche de 50. Cependant, \(49{,}1\) reste inférieur au seuil, donc il faut attendre la 9e heure.
À retenir de ce contrôle
- Pour tout réel a, la suite de terme général exp(na) est géométrique de raison exp(a), croissante si a est positif et décroissante si a est négatif.
- La dérivée de t ↦ exp(kt) est t ↦ k exp(kt), et comme une exponentielle est toujours positive, son signe est celui de k.
- Dans un modèle C exp(-kt), augmenter le temps d’une durée d multiplie la quantité par exp(-kd), quel que soit l’instant de départ.
- Multiplier par un coefficient q inférieur à 1 revient à baisser de (1 – q) × 100 %, et non de q × 100 %.
- Pour trouver un seuil sans logarithme, on calcule des valeurs successives à la calculatrice, puis on encadre la réponse avec l’amplitude demandée.
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