Position relative de deux courbes : corrigé du contrôle de maths en première

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Barème du contrôle corrigé : position relative de deux courbes

Le corrigé détaillé : position relative de deux courbes

Exercice 1 – Lecture graphique de deux courbes (3 points)

1. Les deux courbes se coupent en trois points, que l’on lit alors sur le quadrillage. Les points d’intersection sont \((-2\,;\,-2)\), \((0\,;\,0)\) et \((2\,;\,2)\).
2. On cherche d’abord les abscisses des points où \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ou la coupe. D’après le graphique, c’est le cas entre \(-2\) et 0, puis à partir de 2. L’ensemble des solutions est \([-2\,;\,0] \cup [2\,;\,2{,}5]\).
3. On calcule d’abord \(f(x) – g(x) = x^3 – 3x – x = x^3 – 4x\).
   Ensuite, on factorise par \(x\) : \(x^3 – 4x = x(x^2 – 4) = x(x – 2)(x + 2)\), car \(x^2 – 4\) est une différence de deux carrés.
   Ainsi, ce produit s’annule en \(-2\), 0 et 2, qui sont bien les abscisses lues. De plus, en \(x = -1\), on obtient \((-1) \times (-3) \times 1 = 3 > 0\), et en \(x = 1\), on obtient \(1 \times (-1) \times 3 = -3 < 0\). Le signe de \(f(x) – g(x)\) confirme donc la lecture graphique.

Barème : 1) 1 point (0,25 par point, 0,25 pour la présentation) ; 2) 1 point (0,5 par intervalle) ; 3) 1 point (0,5 pour la factorisation, 0,5 pour le lien avec le graphique).

Exercice 2 – Une parabole et une droite (4 points)

1. On calcule d’abord : \(f(x) – (x + 3) = x^2 – 2x – 1 – x – 3 = x^2 – 3x – 4\).
   Son discriminant vaut \(\Delta = (-3)^2 – 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\), donc \(\Delta > 0\) et \(\sqrt{\Delta} = 5\).
   Les racines sont alors \(x_1 = \frac{3 – 5}{2} = -1\) et \(x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4\). Les racines sont \(-1\) et 4.
2. Le coefficient de \(x^2\) vaut \(1 > 0\), ainsi le polynôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
   

   \(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		4		\(+\infty\)
   \(f(x) – (x + 3)\)		+	0	−	0	+

   Par conséquent, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{D}_g\) sur \(]-\infty\,;\,-1[\) et sur \(]4\,;\,+\infty[\), et au-dessous sur \(]-1\,;\,4[\).

3. Les points d’intersection ont pour abscisses les racines. Ensuite, on calcule leurs ordonnées avec l’équation de la droite : \(-1 + 3 = 2\) et \(4 + 3 = 7\).
   On vérifie enfin avec \(f\) : \(f(-1) = 1 + 2 – 1 = 2\) et \(f(4) = 16 – 8 – 1 = 7\). Les points d’intersection sont \(A(-1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,7)\).

Piège classique : étudier le signe de \(f(x)\) seul, alors que la position relative dépend du signe de la différence \(f(x) – g(x)\).

Barème : 1) 1,5 point (0,5 pour la différence, 0,5 pour \(\Delta\), 0,5 pour les racines) ; 2) 1,5 point (1 pour le tableau, 0,5 pour la conclusion) ; 3) 1 point.

Exercice 3 – Une inégalité démontrée par une étude de fonction (5 points)

1. La fonction \(h\) est polynomiale, donc dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\), et \(h^{\prime}(x) = 3x^2 – 3\).
   Ensuite, \(3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)\). Ainsi, \(h^{\prime}(x) = 3(x – 1)(x + 1)\).
2. Sur \([0\,;\,+\infty[\), on a \(x + 1 > 0\) et \(3 > 0\), donc \(h^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 1\). Il est négatif sur \([0\,;\,1[\), nul en 1, puis positif sur \(]1\,;\,+\infty[\).
   Puis on calcule \(h(0) = 2\) et \(h(1) = 1 – 3 + 2 = 0\).

   \(x\)	0		1		\(+\infty\)
   \(h^{\prime}(x)\)		−	0	+
   \(h\)	2	décroissante	0	croissante

   Donc \(h\) est décroissante sur \([0\,;\,1]\) et croissante sur \([1\,;\,+\infty[\).

3. D’après le tableau, \(h\) admet sur \([0\,;\,+\infty[\) un minimum égal à \(h(1) = 0\). Par conséquent, pour tout \(x \geq 0\), \(h(x) \geq 0\), c’est-à-dire \(x^3 – 3x + 2 \geq 0\). Pour tout réel \(x \geq 0\), on a donc \(x^3 \geq 3x – 2\).
4. Tout d’abord, la fonction cube a pour dérivée \(3x^2\), qui vaut 3 en 1, et le point de contact est \((1\,;\,1)\).
   L’équation de \(T\) est \(y = 3(x – 1) + 1\), soit \(y = 3x – 2\).
   L’inégalité signifie alors que, sur \([0\,;\,+\infty[\), la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de sa tangente \(T\), qu’elle touche au point d’abscisse 1.

Piège classique : conclure seulement que \(h\) est croissante. En fait, c’est la valeur du minimum, ici 0, qui prouve que \(h(x)\) reste positif.

Barème : 1) 1 point ; 2) 1,5 point (0,5 pour le signe, 0,5 pour le tableau, 0,5 pour les valeurs) ; 3) 1,5 point (1 pour le minimum, 0,5 pour la conclusion) ; 4) 1 point (0,5 pour l’équation, 0,5 pour l’interprétation).

Exercice 4 – La fabrique de vélos (8 points)

1. Sur le graphique, les deux courbes se coupent aux abscisses 3 et 12. Entre ces deux valeurs, la droite de la recette est donc au-dessus de la courbe du coût. La recette dépasse le coût pour \(x\) compris strictement entre 3 et 12.
2. On calcule donc :
   \(B(x) = 150x – (x^3 – 3x^2 + 6x + 432)\)
   \(B(x) = 150x – x^3 + 3x^2 – 6x – 432\)
   Donc \(B(x) = -x^3 + 3x^2 + 144x – 432\).
3. On développe d’abord \((x – 3)(12 – x) = 12x – x^2 – 36 + 3x = -x^2 + 15x – 36\).
   Puis \((-x^2 + 15x – 36)(x + 12) = -x^3 – 12x^2 + 15x^2 + 180x – 36x – 432\).
   On retrouve bien \(-x^3 + 3x^2 + 144x – 432 = B(x)\).
4. Tout d’abord, sur \([0\,;\,14]\), le facteur \(x + 12\) est strictement positif.
   

   \(x\)	0		3		12		14
   \(x – 3\)		−	0	+		+
   \(12 – x\)		+		+	0	−
   \(x + 12\)		+		+		+
   \(B(x)\)		−	0	+	0	−

   Comme \(B(x) = R(x) – C(x)\), la courbe de la recette est au-dessus de celle du coût quand \(B(x) > 0\). Ainsi, \(\mathcal{C}_R\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_C\) sur \(]3\,;\,12[\) et au-dessous sur \([0\,;\,3[\) et \(]12\,;\,14]\) : l’atelier est rentable entre 30 et 120 vélos par mois, bornes exclues.

5. D’abord, on dérive terme à terme : \(B^{\prime}(x) = -3x^2 + 6x + 144\).
   Ensuite, \(-3(x – 8)(x + 6) = -3(x^2 + 6x – 8x – 48) = -3(x^2 – 2x – 48) = -3x^2 + 6x + 144\). Donc \(B^{\prime}(x) = -3(x – 8)(x + 6)\).
6. Sur \([0\,;\,14]\), on a \(x + 6 > 0\), donc \(B^{\prime}(x)\) a le signe de \(-3(x – 8)\) : positif sur \([0\,;\,8[\), nul en 8, négatif sur \(]8\,;\,14]\).
   On calcule \(B(0) = -432\), puis \(B(8) = -512 + 192 + 1152 – 432 = 400\), enfin \(B(14) = -2744 + 588 + 2016 – 432 = -572\).

   \(x\)	0		8		14
   \(B^{\prime}(x)\)		+	0	−
   \(B\)	\(-432\)	croissante	400	décroissante	\(-572\)

   \(B\) est croissante sur \([0\,;\,8]\) et décroissante sur \([8\,;\,14]\).

7. D’après le tableau, le maximum de \(B\) est donc atteint en \(x = 8\), soit 8 dizaines de vélos. Il vaut 400 centaines d’euros, c’est-à-dire \(400 \times 100 = 40\,000\) €. L’atelier doit fabriquer 80 vélos par mois, pour un bénéfice maximal de 40 000 €.

Piège classique : répondre « 8 vélos » ou « 400 € ». En effet, \(x\) compte des dizaines de vélos et \(B(x)\) des centaines d’euros.

Barème : 1) 1 point ; 2) 1 point ; 3) 1 point ; 4) 1,5 point (1 pour le tableau, 0,5 pour la conclusion) ; 5) 1 point ; 6) 1,5 point (0,5 pour le signe, 0,5 pour le tableau, 0,5 pour les valeurs) ; 7) 1 point (0,5 pour la quantité, 0,5 pour le bénéfice en euros).

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