Dérivées et approximation affine : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « dérivées et approximation affine », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre. Pour chaque dérivée, elle nomme d’abord la formule utilisée, puis elle écrit \(u\), \(v\) et leurs dérivées avant de réduire le résultat. Ainsi, tu repères facilement l’étape où ta copie diverge.
Les approximations affines sont comparées aux valeurs de la calculatrice, et l’erreur commise est chiffrée. Le tableau de signes et de variations de l’exercice 4 est aussi dessiné en entier. Compte ensuite tes points avec le barème placé sous chaque exercice. Lis enfin les pièges signalés, car ils portent souvent sur le facteur a oublié dans la dérivée de \(g(ax + b)\).
L’énoncé complet se trouve ici : Dérivées et approximation affine : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : dérivées et approximation affine
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Dérivées des fonctions usuelles | 4 points |
| 2. Produit, quotient et composée | 5 points |
| 3. La racine carrée près de 4 | 4 points |
| 4. Quelle courbe pour h ? | 3 points |
| 5. Le trajet de Léna sur l’autoroute | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : dérivées et approximation affine
Exercice 1 – Dérivées des fonctions usuelles (4 points)
- On dérive terme à terme, car la dérivée de \(x^n\) est \(nx^{n-1}\). \(f_1^{\prime}(x) = 12x^3 – 10x + 7\).
- La dérivée de \(\frac{1}{x}\) est \(-\frac{1}{x^2}\), donc celle de \(\frac{2}{x}\) est \(-\frac{2}{x^2}\). \(f_2^{\prime}(x) = -\frac{2}{x^2} + 3x^2\).
- La dérivée de \(\sqrt{x}\) est \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\), ainsi \(4 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}}\). \(f_3^{\prime}(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} – 1\).
- D’une part, \(\frac{1}{2}x^2\) a pour dérivée \(x\). D’autre part, \(-\frac{3}{x}\) a pour dérivée \(-3 \times \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{3}{x^2}\). \(f_4^{\prime}(x) = x + \frac{3}{x^2}\).
Piège classique : oublier que le signe moins devant \(\frac{3}{x}\) se combine avec celui de la dérivée de \(\frac{1}{x}\). En effet, deux signes moins donnent un plus.
Exercice 2 – Produit, quotient et composée (5 points)
- C’est un produit \(uv\) avec \(u(x) = 2x – 1\), \(u^{\prime}(x) = 2\), \(v(x) = x^2 + 3\) et \(v^{\prime}(x) = 2x\).
\(g^{\prime}(x) = 2(x^2 + 3) + (2x – 1) \times 2x\)
\(g^{\prime}(x) = 2x^2 + 6 + 4x^2 – 2x\)
\(g^{\prime}(x) = 6x^2 – 2x + 6\). - C’est un produit avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = \sqrt{x}\), donc \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
\(h^{\prime}(x) = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}\). Or \(\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\), d’où \(h^{\prime}(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x}\).
Ainsi, \(h^{\prime}(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}\). - C’est un quotient \(\frac{u}{v}\) avec \(u(x) = 3x + 1\), \(u^{\prime}(x) = 3\), \(v(x) = x – 2\) et \(v^{\prime}(x) = 1\).
\(k^{\prime}(x) = \frac{3(x – 2) – (3x + 1) \times 1}{(x – 2)^2} = \frac{3x – 6 – 3x – 1}{(x – 2)^2}\)
\(k^{\prime}(x) = \frac{-7}{(x – 2)^2}\). - Ici, \(m(x) = g(2x – 3)\) avec \(g(X) = X^3\), donc \(g^{\prime}(X) = 3X^2\), \(a = 2\) et \(b = -3\).
\(m^{\prime}(x) = 2 \times 3(2x – 3)^2\). Donc \(m^{\prime}(x) = 6(2x – 3)^2\). - De même, \(p(x) = g(-2x + 6)\) avec \(g(X) = \sqrt{X}\), \(a = -2\) et \(b = 6\).
\(p^{\prime}(x) = -2 \times \frac{1}{2\sqrt{6 – 2x}}\). Donc \(p^{\prime}(x) = -\frac{1}{\sqrt{6 – 2x}}\).
Piège classique : écrire \(m^{\prime}(x) = 3(2x – 3)^2\). Pourtant, la formule impose de multiplier par \(a = 2\).
Exercice 3 – La racine carrée près de 4 (4 points)
- \(f(4) = \sqrt{4} = 2\) et \(f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), donc \(f^{\prime}(4) = \frac{1}{4}\).
La tangente a pour équation \(y = f^{\prime}(4)(x – 4) + f(4)\), soit \(y = \frac{1}{4}(x – 4) + 2\).
Donc \(T : y = 0{,}25x + 1\). - Au voisinage de 4, la courbe est très proche de sa tangente, alors \(f(4 + h) \approx f(4) + f^{\prime}(4) \times h\). Ainsi, \(\sqrt{4 + h} \approx 2 + \frac{h}{4}\).
Avec \(h = 0{,}2\) : \(\sqrt{4{,}2} \approx 2 + 0{,}05 = 2{,}05\).
Avec \(h = -0{,}1\) : \(\sqrt{3{,}9} \approx 2 – 0{,}025 = 1{,}975\).
On obtient \(\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05\) et \(\sqrt{3{,}9} \approx 1{,}975\). - La calculatrice donne \(\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}04939\), donc l’erreur vaut \(2{,}05 – 2{,}04939 = 0{,}00061\).
De même, \(\sqrt{3{,}9} \approx 1{,}97484\), donc l’erreur vaut \(1{,}975 – 1{,}97484 = 0{,}00016\).
Les erreurs sont d’environ 0,00061 et 0,00016 : l’approximation est excellente près de 4. - Sur la figure, la courbe \(\mathcal{C}\) est située sous la tangente \(T\). Par conséquent, la valeur lue sur la tangente est plus grande que la valeur exacte. Les deux approximations sont par excès, ce que confirment les calculs précédents.
Piège classique : prendre \(h = 4{,}2\) au lieu de \(h = 0{,}2\). Or \(h\) est l’écart à 4, et non le nombre lui-même.
Exercice 4 – Quelle courbe pour h ? (3 points)
- D’abord, \(x + 1\) s’annule en \(-1\) et devient positif ensuite. Puis \(2 – x\) s’annule en 2 et devient négatif après. On applique alors la règle des signes d’un produit. \(h^{\prime}(x)\) est négatif sur \([-3\,;-1]\), positif sur \([-1\,;2]\) et négatif sur \([2\,;3]\).
- Donc \(h\) est décroissante sur \([-3\,;-1]\), croissante sur \([-1\,;2]\), puis décroissante sur \([2\,;3]\). Elle admet ainsi un minimum local en \(-1\) et un maximum local en 2.
- La courbe \(\mathcal{C}_1\) a bien la forme attendue, mais ses extremums sont en \(-2\) et 1 : elle ne convient donc pas. Ensuite, \(\mathcal{C}_3\) est croissante sur \([-3\,;-1]\), ce qui contredit le signe de \(h^{\prime}\). En revanche, \(\mathcal{C}_2\) descend jusqu’à \(x = -1\), monte jusqu’à \(x = 2\), puis redescend. C’est donc \(\mathcal{C}_2\) qui représente \(h\).
Exercice 5 – Le trajet de Léna sur l’autoroute (4 points)
- \(t(120) = \frac{60}{120} = 0{,}5\), soit une demi-heure.
Comme \(t(v) = 60 \times \frac{1}{v}\), on obtient \(t^{\prime}(v) = -\frac{60}{v^2}\).
Ainsi, \(t^{\prime}(120) = -\frac{60}{14\,400} = -\frac{1}{240}\).
Donc \(t(120) = 0{,}5\) h et \(t^{\prime}(120) = -\frac{1}{240}\). - L’approximation affine en 120 s’écrit \(t(120 + h) \approx t(120) + t^{\prime}(120) \times h\). Par conséquent, \(t(120 + h) \approx 0{,}5 – \frac{h}{240}\).
- Ici, \(h = 6\) : \(t(126) \approx 0{,}5 – \frac{6}{240} = 0{,}5 – 0{,}025 = 0{,}475\) h, soit \(0{,}475 \times 60 = 28{,}5\) min.
La valeur exacte vaut \(\frac{60}{126} \times 60 \approx 28{,}57\) min.
L’approximation donne 28,5 min, contre environ 28,57 min en réalité : l’écart est inférieur à 5 secondes. - Gagner 2 minutes revient à gagner \(\frac{2}{60} = \frac{1}{30}\) h. Avec l’approximation, \(\frac{h}{240} = \frac{1}{30}\), donc \(h = 8\) et \(v = 128\) km/h.
Pour la valeur exacte, on résout \(\frac{60}{v} = 0{,}5 – \frac{1}{30} = \frac{7}{15}\), d’où \(v = \frac{60 \times 15}{7} = \frac{900}{7} \approx 128{,}57\).
L’approximation propose 128 km/h, alors que la vitesse exacte vaut environ 128,57 km/h.
Piège classique : mélanger heures et minutes. Il faut donc convertir les 2 minutes en heures avant d’utiliser la formule.
À retenir de ce contrôle
- La dérivée d’un produit uv vaut u’v + uv’, et celle d’un quotient u/v vaut (u’v − uv’) divisé par v².
- La dérivée de x ↦ g(ax + b) vaut a multiplié par g'(ax + b) : le facteur a ne doit jamais être oublié.
- Au voisinage de a, f(a + h) est proche de f(a) + f'(a) × h, ce qui revient à remplacer la courbe par sa tangente.
- Quand la courbe est sous sa tangente, l’approximation affine donne une valeur par excès, et par défaut dans le cas contraire.
- Une fonction est croissante sur un intervalle où sa dérivée est positive et décroissante où elle est négative.
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