Produit scalaire
En bref : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment, ou à xx’ + yy’ en coordonnées dans un repère orthonormé.
PremièreGéométrie plane
Définition : Produit scalaire
Le produit scalaire associe à deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) un seul nombre, qui mesure à quel point ils « vont dans le même sens ».
Il se note \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) et vaut \(\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta\), où \(\theta\) est l’angle entre eux. En repère orthonormé, avec \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^{\prime}\,;\,y^{\prime})\), on obtient \(xx^{\prime}+yy^{\prime}\). Le résultat est positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus et nul pour un angle droit.
Comment le reconnaître
- On doit prouver qu’un angle est droit ou que deux droites sont perpendiculaires sans rapporteur.
- L’énoncé donne deux longueurs et l’angle entre deux côtés, et demande une grandeur liée à un troisième côté ou à un travail.
- On cherche la mesure d’un angle à partir des coordonnées de trois points.
- En physique, une force constante déplace un objet : le travail fait intervenir ce produit.
La méthode
- Identifier les données : normes et angle, ou coordonnées des deux vecteurs.
- Choisir la formule adaptée : \(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\) ou \(xx^{\prime}+yy^{\prime}\).
- Calculer en gardant les signes, puis interpréter : nul signifie orthogonal, positif angle aigu, négatif angle obtus.
- Pour un angle inconnu, isoler \(\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\).
Produit scalaire : exemple corrigé
Énoncé
Un chariot est tiré sur \(15\) m par une force de \(80\) N dont la direction forme un angle de \(60°\) avec le déplacement. Calculer le travail de cette force, qui est le produit scalaire de la force et du déplacement.
Corrigé
Le travail vaut \(W=\vec{F}\cdot\vec{d}=\|\vec{F}\|\times\|\vec{d}\|\times\cos 60°\).
Avec \(\cos 60°=0{,}5\) : \(W=80\times 15\times 0{,}5=\) \(600\) joules.
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) pour \(\vec{u}(3\,;\,-2)\) et \(\vec{v}(5\,;\,4)\).
Voir la réponse
\(3\times 5+(-2)\times 4=15-8=7\).
Question 2
\(\|\vec{a}\|=7\), \(\|\vec{b}\|=2\) et l’angle entre eux est de \(90°\). Que vaut \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) ?
Voir la réponse
\(\cos 90°=0\), donc le produit scalaire est \(0\) : les vecteurs sont orthogonaux.
Ne pas confondre Produit scalaire et Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs est un vecteur : on le construit en mettant les flèches bout à bout. Le produit scalaire est un nombre : il ne se dessine pas par une flèche et sert à mesurer angles et longueurs. Additionner donne une direction, multiplier scalairement donne une valeur.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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