Vecteur normal
En bref : Un vecteur normal à une droite pointe à angle droit par rapport à elle ; lisible directement dans son équation cartésienne, il a pour coordonnées les coefficients de x et de y.
PremièreGéométrie plane
Définition : Vecteur normal
Un vecteur normal à une droite \(d\) n’est pas nul et reste perpendiculaire à tout vecteur directeur de \(d\). Il indique la direction de la perpendiculaire, comme un piquet planté droit sur un sentier.
Chaque droite admet une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires. En repère orthonormé, lorsque \(d\) a pour équation \(ax+by+c=0\), le vecteur \(\vec{n}(a\,;\,b)\) convient. Réciproquement, un point \(M\) est sur la droite passant par \(A\) de vecteur normal \(\vec{n}\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne un point et un vecteur perpendiculaire à la droite recherchée.
- On cherche l’équation d’une droite perpendiculaire à une autre, passant par un point.
- La droite est écrite sous la forme \(ax+by+c=0\) et l’on veut en lire un vecteur directeur ou normal.
- Une hauteur ou une tangente à un cercle doit être déterminée avec un produit scalaire.
La méthode
- Écrire \(\vec{n}(a\,;\,b)\) : l’équation de la droite commence par \(ax+by+c=0\).
- Utiliser le point connu \(A(x_A\,;\,y_A)\) pour trouver \(c\) : \(c=-(ax_A+by_A)\).
- Écrire l’équation complète, puis vérifier avec les coordonnées de \(A\).
- Pour un vecteur directeur, permuter les coordonnées de \(\vec{n}\) en changeant un signe : \((-b\,;\,a)\).
Vecteur normal : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer l’équation de la droite \(d\) passant par \(A(2\,;\,-1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(4\,;\,3)\).
Corrigé
Une équation de \(d\) est de la forme \(4x+3y+c=0\). Comme \(A\) est sur \(d\) : \(4\times 2+3\times(-1)+c=0\), soit \(8-3+c=0\), donc \(c=-5\).
L’équation est \(4x+3y-5=0\). Un vecteur directeur est \((-3\,;\,4)\) : il est bien orthogonal à \(\vec{n}\), car \(4\times(-3)+3\times 4=0\).
À toi de jouer
Question 1
Donner un vecteur normal à la droite d’équation \(5x-2y+9=0\).
Voir la réponse
Les coefficients de \(x\) et \(y\) donnent \(\vec{n}(5\,;\,-2)\).
Question 2
La droite passe par \(B(1\,;\,3)\) avec \(\vec{n}(2\,;\,1)\). Donner son équation.
Voir la réponse
\(2x+y+c=0\) avec \(2+3+c=0\), donc \(c=-5\) : \(2x+y-5=0\).
Ne pas confondre Vecteur normal et Vecteur directeur
Le vecteur directeur suit la droite, il est parallèle à elle. Le vecteur normal lui est perpendiculaire. Pour \(ax+by+c=0\), un vecteur directeur est \((-b\,;\,a)\) et un vecteur normal est \((a\,;\,b)\) : on peut vérifier que leur produit scalaire est nul.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Vecteur directeur
- Vecteurs orthogonaux
- Produit scalaire
- Équation cartésienne
- Droites perpendiculaires
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