Vecteur directeur
En bref : Un vecteur directeur indique la direction d’une droite : c’est une flèche non nulle parallèle à cette droite, et tout multiple non nul d’une telle flèche remplit le même rôle.
SecondeGéométrie plane
Définition : Vecteur directeur
Choisir un vecteur directeur pour une droite \((d)\), c’est retenir un vecteur non nul \(\vec{u}\) parallèle à \((d)\). Avec deux points distincts \(A\) et \(B\) pris sur \((d)\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) convient.
Une droite en possède une infinité : si \(\vec{u}\) convient, alors \(2\vec{u}\), \(-\vec{u}\) ou \(0{,}5\vec{u}\) conviennent aussi. Pour la droite d’équation \(ax+by+c=0\), le vecteur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) est directeur. Avec un point \(A\) et un vecteur directeur \(\vec{u}\), la droite est entièrement déterminée : un point \(M\) lui appartient si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) ont la même direction.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne un point et une direction, et demande de décrire la droite ou de construire un point de plus.
- On connaît deux points et l’on veut une description de la droite qui les relie.
- Il s’agit de savoir si deux droites sont parallèles, donc dirigées par des vecteurs de même direction.
- Une équation cartésienne est donnée et l’on cherche la direction de la droite.
La méthode
- À partir de deux points \(A\) et \(B\), calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : c’est un vecteur directeur.
- À partir de \(ax+by+c=0\), lire \(a\) et \(b\) puis écrire \(\vec{u}(-b\,;\,a)\).
- Pour tester si un vecteur est directeur, vérifier qu’il est un multiple de celui que l’on connaît.
- Pour savoir si un point \(M\) est sur la droite, vérifier que \(\overrightarrow{AM}\) est un multiple du vecteur directeur.
Vecteur directeur : exemple corrigé
Énoncé
La droite \((d)\) a pour équation \(5x-2y+7=0\). Donner un vecteur directeur, dire si \(\vec{w}(4\,;\,10)\) en est un, puis savoir si le point \(M(6\,;\,18)\) est sur la droite qui passe par \(A(0\,;\,3{,}5)\) et dirigée par ce vecteur.
Corrigé
Ici \(a=5\) et \(b=-2\), donc \(\vec{u}(2\,;\,5)\) est directeur. Comme \(\vec{w}(4\,;\,10)=2\vec{u}\), le vecteur \(\vec{w}\) l’est aussi.
On a \(\overrightarrow{AM}(6\,;\,14{,}5)\). Pour qu’il soit un multiple de \(\vec{u}(2\,;\,5)\), il faudrait \(6=3\times 2\) et \(14{,}5=3\times 5\), soit \(15\). Ce n’est pas le cas : \(M\) n’est pas sur la droite.
À toi de jouer
Question 1
Donner un vecteur directeur de la droite d’équation \(y=-0{,}5x+3\).
Voir la réponse
Quand \(x\) augmente de \(1\), \(y\) change de \(-0{,}5\) : le vecteur \((1\,;\,-0{,}5)\) convient, ainsi que \((2\,;\,-1)\).
Question 2
Quel est un vecteur directeur de la droite \((AB)\) avec \(A(0\,;\,1)\) et \(B(6\,;\,4)\) ?
Voir la réponse
\(\overrightarrow{AB}(6\,;\,3)\), ou plus simplement \((2\,;\,1)\).
Ne pas confondre Vecteur directeur et Vecteur normal
Le vecteur directeur est parallèle à la droite : il indique dans quel sens la parcourir. Le vecteur normal lui est perpendiculaire. Pour \(ax+by+c=0\), le premier est \((-b\,;\,a)\) et le second \((a\,;\,b)\). Leur produit scalaire est nul, ce qui traduit cet angle droit.
Pour aller plus loin
Cours
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