Équation cartésienne
En bref : Une équation cartésienne de droite s’écrit ax + by + c = 0 avec a et b non tous deux nuls ; le vecteur de coordonnées (-b ; a) dirige alors la droite et ses points vérifient l’égalité.
SecondeGéométrie plane
Définition : Équation cartésienne
Une équation cartésienne d’une droite est une égalité de la forme \(ax+by+c=0\) que vérifient les coordonnées de tous les points de la droite, et d’eux seuls. Les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) sont fixés, et \(a\) et \(b\) ne sont pas nuls en même temps.
Cette écriture a un avantage : elle décrit aussi les droites verticales, que la forme \(y=mx+p\) ne sait pas écrire. De plus, le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite. Une même droite possède une infinité d’équations cartésiennes, obtenues en multipliant tout par un même nombre non nul.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne un point et un vecteur directeur, puis demande une égalité reliant \(x\) et \(y\).
- Une équation se présente sous la forme d’une somme de multiples de \(x\) et de \(y\) égale à zéro.
- On doit tester si un point appartient à une droite dont l’équation est donnée.
- La droite est verticale, donc impossible à écrire sous la forme \(y=mx+p\).
La méthode
- Utiliser le vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)\) : alors \(a=\beta\) et \(b=-\alpha\).
- Écrire l’équation provisoire \(ax+by+c=0\) avec ces valeurs de \(a\) et \(b\).
- Remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées d’un point connu de la droite pour trouver \(c\).
- Vérifier avec un second point de la droite, ou avec le point qui sert de contrôle dans l’énoncé.
Équation cartésienne : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((d)\) qui passe par \(A(2\,;\,-1)\) et admet \(\vec{u}(3\,;\,4)\) pour vecteur directeur. Le point \(B(5\,;\,3)\) est-il sur \((d)\) ?
Corrigé
Avec \(\vec{u}(3\,;\,4)\), on a \(-b=3\) et \(a=4\), donc \(a=4\) et \(b=-3\). L’équation s’écrit \(4x-3y+c=0\).
Le point \(A\) est sur la droite : \(4\times 2-3\times(-1)+c=0\), soit \(8+3+c=0\), donc \(c=-11\). Une équation de \((d)\) est \(4x-3y-11=0\).
Pour \(B\) : \(4\times 5-3\times 3-11=20-9-11=0\). L’égalité est vraie, donc \(B\) appartient à \((d)\).
À toi de jouer
Question 1
Donner un vecteur directeur de la droite d’équation \(2x+5y-10=0\).
Voir la réponse
Ici \(a=2\) et \(b=5\), donc \(\vec{u}(-5\,;\,2)\) convient.
Question 2
Le point \(C(-5\,;\,4)\) est-il sur la droite d’équation \(2x+5y-10=0\) ?
Voir la réponse
On calcule \(2\times(-5)+5\times 4-10=-10+20-10=0\) : oui, \(C\) est sur la droite.
Ne pas confondre Équation cartésienne et Équation de droite
L’équation réduite \(y=mx+p\) isole \(y\) et laisse lire la pente \(m\) et l’ordonnée à l’origine \(p\), mais elle ne décrit pas les droites verticales. L’équation cartésienne garde tous les termes d’un même côté, égaux à zéro : elle convient à toutes les droites et donne tout de suite un vecteur directeur.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Équation de droite
- Vecteur directeur
- Droite
- Coefficient directeur
- Ordonnée à l'origine
- Vecteurs colinéaires
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