Vecteurs colinéaires
En bref : Deux vecteurs colinéaires ont la même direction : l’un s’obtient en multipliant l’autre par un nombre réel, ce qui se vérifie par la nullité de leur déterminant.
SecondeGéométrie plane
Définition : Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs colinéaires \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont portés par des droites parallèles, ou par la même droite. Il existe alors un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\) (si \(\vec{u}\) n’est pas nul). Le signe de \(k\) donne le sens : positif, même sens ; négatif, sens contraire.
Avec les coordonnées \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^{\prime}\,;\,y^{\prime})\), le critère pratique est \(xy^{\prime} – yx^{\prime} = 0\). Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Cette notion sert à prouver des alignements de points et des parallélismes de droites.
Comment le reconnaître
- La consigne demande de montrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.
- Les coordonnées de deux vecteurs sont proportionnelles, par exemple \((4\,;\,-6)\) et \((-6\,;\,9)\).
- Un énoncé cherche une valeur d’un paramètre \(m\) pour laquelle deux vecteurs ont la même direction.
- Une figure montre des flèches qui semblent avoir la même pente.
La méthode
- Calculer les coordonnées des vecteurs : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\) pour des points donnés.
- Calculer le déterminant \(xy^{\prime} – yx^{\prime}\) en multipliant en croix les coordonnées.
- S’il est nul, conclure à la colinéarité ; sinon, les vecteurs n’ont pas la même direction.
- Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\), colinéarité de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) signifie alignés.
Vecteurs colinéaires : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère, \(\vec{u}(4\,;\,-6)\), \(\vec{v}(-6\,;\,9)\) et \(\vec{w}(3\,;\,5)\). Lesquels de ces vecteurs sont colinéaires à \(\vec{u}\) ? Si c’est le cas, donner le coefficient.
Corrigé
Pour \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : \(4 \times 9 – (-6) \times (-6) = 36 – 36 = 0\). Ils sont colinéaires, et \(-6 = k \times 4\) donne \(k = -1{,}5\) (on vérifie \(-1{,}5 \times (-6) = 9\)).
Pour \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) : \(4 \times 5 – (-6) \times 3 = 20 + 18 = 38\), non nul.
Conclusion : \(\vec{v} = -1{,}5\,\vec{u}\) est colinéaire à \(\vec{u}\), mais pas \(\vec{w}\).
À toi de jouer
Question 1
Les vecteurs \(\vec{a}(3\,;\,5)\) et \(\vec{b}(9\,;\,15)\) sont-ils colinéaires ?
Voir la réponse
\(3 \times 15 – 5 \times 9 = 45 – 45 = 0\) : oui, avec \(\vec{b} = 3\,\vec{a}\).
Question 2
Pour quelle valeur de \(m\) les vecteurs \((2\,;\,m)\) et \((5\,;\,-10)\) sont-ils colinéaires ?
Voir la réponse
\(2 \times (-10) – m \times 5 = 0\) donne \(-20 = 5m\), donc \(m = -4\).
Ne pas confondre Vecteurs colinéaires et Vecteurs orthogonaux
Des vecteurs colinéaires ont la même direction : leurs droites sont parallèles, et le déterminant est nul. Des vecteurs orthogonaux sont perpendiculaires : c’est le produit scalaire qui s’annule. Les vecteurs \((1\,;\,2)\) et \((2\,;\,4)\) sont colinéaires, tandis que \((1\,;\,2)\) et \((-2\,;\,1)\) sont orthogonaux.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Déterminant de deux vecteurs
- Vecteur
- Vecteur directeur
- Points alignés
- Droites parallèles
- Relation de Chasles
Tout le glossaire : A–Z · Seconde · Géométrie plane
