Déterminant de deux vecteurs
En bref : Le déterminant de deux vecteurs du plan est le nombre xy′ − yx′ construit à partir de leurs coordonnées ; il vaut zéro exactement quand les vecteurs sont colinéaires.
SecondeGéométrie plane
Définition : Déterminant de deux vecteurs
Le déterminant de deux vecteurs \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^{\prime}\,;\,y^{\prime})\) est le nombre \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy^{\prime} – yx^{\prime}\), que l’on calcule en croisant les coordonnées comme un produit en croix.
Son signe et sa valeur ont un sens géométrique. S’il est nul, les vecteurs ont la même direction. Sinon, sa valeur absolue est l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, et son signe indique si l’on tourne dans le sens direct (positif) ou indirect (négatif) en passant de \(\vec{u}\) à \(\vec{v}\). L’ordre compte : permuter les vecteurs change le signe.
Comment le reconnaître
- L’énoncé veut prouver sans dessin que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.
- Un paramètre \(m\) doit être déterminé pour que deux vecteurs aient la même direction.
- On cherche l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle repérés par leurs sommets.
- Deux vecteurs sont donnés par leurs coordonnées et la consigne demande « calculer le déterminant ».
La méthode
- Écrire les coordonnées des deux vecteurs, dans l’ordre demandé, l’un en dessous de l’autre.
- Multiplier en croix : l’abscisse du premier par l’ordonnée du second, moins l’ordonnée du premier par l’abscisse du second.
- Mettre des parenthèses autour des nombres négatifs pour ne pas se tromper de signe.
- Interpréter : nul pour la colinéarité, valeur absolue pour une aire de parallélogramme.
Déterminant de deux vecteurs : exemple corrigé
Énoncé
Calculer le déterminant des vecteurs \(\vec{u}(7\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(2\,;\,5)\), puis dire si ces vecteurs sont colinéaires et donner l’aire du parallélogramme qu’ils définissent.
Corrigé
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = 7 \times 5 – (-3) \times 2 = 35 + 6 = 41\).
Ce nombre n’est pas nul : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
L’aire du parallélogramme est la valeur absolue du déterminant : 41 unités d’aire. Le signe positif indique le sens direct de \(\vec{u}\) vers \(\vec{v}\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer le déterminant de \((6\,;\,-9)\) et \((-4\,;\,6)\).
Voir la réponse
\(6 \times 6 – (-9) \times (-4) = 36 – 36 = 0\) : les vecteurs sont colinéaires.
Question 2
Que devient le déterminant si l’on échange les deux vecteurs de l’exemple ?
Voir la réponse
Il change de signe : \(\det(\vec{v},\vec{u}) = -41\). L’aire reste 41.
Ne pas confondre Déterminant de deux vecteurs et Vecteurs colinéaires
Le déterminant est un nombre que l’on calcule avec les coordonnées. La colinéarité est une propriété des vecteurs : ils ont la même direction. Le lien est le suivant : deux vecteurs sont colinéaires exactement lorsque leur déterminant est nul.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Vecteurs colinéaires
- Vecteur
- Géométrie repérée
- Points alignés
- Norme d'un vecteur
- Somme de deux vecteurs
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