Somme de deux vecteurs
En bref : La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur obtenu en enchaînant les deux déplacements ; ses coordonnées sont la somme des coordonnées correspondantes, abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée.
SecondeGéométrie plane
Définition : Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\) qui correspond à effectuer d’abord le déplacement \(\vec{u}\), puis le déplacement \(\vec{v}\). On la construit en plaçant l’origine de \(\vec{v}\) à l’extrémité de \(\vec{u}\), ou avec la règle du parallélogramme à partir d’une origine commune.
Avec des coordonnées, c’est immédiat : si \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^{\prime}\,;\,y^{\prime})\), alors \(\vec{u}+\vec{v}\) a pour coordonnées \((x+x^{\prime}\,;\,y+y^{\prime})\). L’addition ne dépend pas de l’ordre : \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé enchaîne deux déplacements, comme deux étapes d’un trajet, et demande le déplacement total.
- On doit prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou trouver son quatrième sommet.
- Les coordonnées de deux vecteurs sont données et l’on veut celles de leur combinaison.
- Une force résultante ou une vitesse composée est représentée par la somme de deux flèches.
La méthode
- Pour une somme de deux vecteurs, écrire les coordonnées de chaque vecteur, en calculant \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\) si on part de points.
- Additionner les abscisses entre elles, puis les ordonnées entre elles.
- Pour un parallélogramme \(ABCD\), utiliser \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) afin d’obtenir \(C\).
- Vérifier par un dessin à main levée que la diagonale obtenue a le bon sens.
Somme de deux vecteurs : exemple corrigé
Énoncé
1) Soit \(\vec{u}(3\,;\,-2)\) et \(\vec{v}(-5\,;\,4)\) : donner les coordonnées de \(\vec{u}+\vec{v}\). 2) \(ABCD\) est un parallélogramme avec \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(D(2\,;\,4)\) : trouver \(C\).
Corrigé
1) \((3+(-5)\,;\,-2+4)=\) \((-2\,;\,2)\).
2) \(\overrightarrow{AB}(4\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{AD}(1\,;\,3)\). Dans un parallélogramme, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(5\,;\,4)\). Alors \(x_C-1=5\) et \(y_C-1=4\), donc \(C(6\,;\,5)\). Contrôle : \(\overrightarrow{DC}(4\,;\,1)=\overrightarrow{AB}\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(\vec{u}+\vec{v}\) pour \(\vec{u}(2{,}5\,;\,-1)\) et \(\vec{v}(0{,}5\,;\,4)\).
Voir la réponse
\((2{,}5+0{,}5\,;\,-1+4)=(3\,;\,3)\).
Question 2
Calculer \(\vec{u}-\vec{v}\) pour \(\vec{u}(7\,;\,1)\) et \(\vec{v}(3\,;\,-2)\).
Voir la réponse
On soustrait terme à terme : \((7-3\,;\,1-(-2))=(4\,;\,3)\).
Ne pas confondre Somme de deux vecteurs et Norme d'un vecteur
La norme de la somme n’est pas la somme des normes. Avec \(\vec{u}(3\,;\,0)\) et \(\vec{v}(0\,;\,4)\), les normes valent \(3\) et \(4\), mais \(\vec{u}+\vec{v}(3\,;\,4)\) a pour norme \(5\), pas \(7\). Les longueurs s’additionnent seulement si les deux vecteurs ont la même direction et le même sens.
Pour aller plus loin
Cours
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Mots voisins
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