Relation de Chasles
En bref : La relation de Chasles affirme que, pour trois points A, B et C, aller de A à B puis de B à C revient à aller directement de A à C : AB + BC = AC en vecteurs.
SecondeGéométrie plane
Définition : Relation de Chasles
La relation de Chasles relie trois points quelconques \(A\), \(B\) et \(C\) : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Le point d’arrivée du premier vecteur doit être le point de départ du second ; alors on peut effacer le point intermédiaire \(B\).
Elle fonctionne pour n’importe quel nombre de vecteurs enchaînés et pour tout point intermédiaire, même placé loin de la figure. On s’en sert pour simplifier des sommes, pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour exprimer un vecteur à partir d’autres. En particulier, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\).
Comment le reconnaître
- Une somme de vecteurs où la lettre finale de l’un est la lettre initiale du suivant, comme \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}\).
- L’énoncé demande de simplifier l’écriture d’une somme de vecteurs ou de tout exprimer à partir de deux vecteurs.
- On veut décomposer un vecteur en passant par un point intermédiaire.
- Il faut démontrer une égalité de vecteurs dans un parallélogramme.
La méthode
- Repérer deux vecteurs consécutifs : la deuxième lettre du premier est la première lettre du second.
- Appliquer la relation de Chasles : supprimer la lettre commune et garder la première et la dernière.
- Si les lettres ne s’enchaînent pas, remplacer un vecteur par son opposé : \(-\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{HE}\).
- Contrôler avec des coordonnées ou un dessin à main levée.
Relation de Chasles : exemple corrigé
Énoncé
1) Simplifier \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}-\overrightarrow{EH}\). 2) Avec \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,6)\) et \(C(-2\,;\,5)\), vérifier que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
Corrigé
1) On applique la relation : \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EG}\). Puis \(\overrightarrow{EG}-\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EG}=\) \(\overrightarrow{HG}\).
2) \(\overrightarrow{AB}(3\,;\,4)\) et \(\overrightarrow{BC}(-6\,;\,-1)\), donc leur somme est \((-3\,;\,3)\). Directement, \(\overrightarrow{AC}(-2-1\,;\,5-2)=(-3\,;\,3)\). Les deux résultats coïncident.
À toi de jouer
Question 1
Simplifier \(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FD}\).
Voir la réponse
\(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}\), puis \(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FD}=\vec{0}\) : on revient au point de départ.
Question 2
Écrire \(\overrightarrow{PQ}\) comme une somme de deux vecteurs en passant par le point \(R\).
Voir la réponse
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RQ}\).
Ne pas confondre Relation de Chasles et Inégalité triangulaire
La relation de Chasles porte sur des vecteurs et donne une égalité exacte. L’inégalité triangulaire porte sur des longueurs : \(AC\le AB+BC\). Elle devient une égalité seulement quand \(B\) est sur le segment \([AC]\). Ajouter les vecteurs n’est pas ajouter leurs longueurs.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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