Norme d’un vecteur
En bref : La norme d’un vecteur est sa longueur ; dans un repère orthonormé, un vecteur de coordonnées (x ; y) a pour norme la racine carrée de x² + y², et la norme de AB est la distance AB.
SecondeGéométrie plane
Définition : Norme d'un vecteur
La norme d’un vecteur \(\vec{u}\), notée \(\|\vec{u}\|\), est la longueur de la flèche qui le représente. Elle ne dépend ni de la position du vecteur dans le plan, ni de son sens, mais seulement de sa taille.
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((x\,;\,y)\), alors \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) : c’est le théorème de Pythagore appliqué aux deux composantes. Pour deux points, \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\). Un vecteur de norme \(1\) est dit unitaire, et seul le vecteur nul a une norme égale à zéro.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande la longueur d’un déplacement représenté par un vecteur.
- On connaît les coordonnées d’un vecteur et l’on veut sa taille, sans le dessiner.
- On doit calculer la distance entre deux points en passant par les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
- Il s’agit de comparer des vecteurs ou de vérifier qu’ils ont la même taille.
La méthode
- Vérifier que le repère est orthonormé : sinon la formule de la norme d’un vecteur n’est pas valable.
- Obtenir les coordonnées du vecteur ; pour \(\overrightarrow{AB}\), calculer \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\).
- Calculer \(x^2+y^2\) en élevant au carré chaque coordonnée, puis les ajouter.
- Prendre la racine carrée de la somme et donner la valeur exacte, ou une valeur approchée si on le demande.
Norme d'un vecteur : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-2\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,27)\). Calculer la norme de \(\overrightarrow{AB}\), puis celle de \(\vec{v}(-1{,}2\,;\,1{,}6)\).
Corrigé
On trouve d’abord \(\overrightarrow{AB}(5-(-2)\,;\,27-3)=(7\,;\,24)\). Alors \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=\) \(25\).
Pour \(\vec{v}\) : \((-1{,}2)^2+1{,}6^2=1{,}44+2{,}56=4\), donc \(\|\vec{v}\|=2\). Le signe moins de la première coordonnée disparaît dans le carré.
À toi de jouer
Question 1
Calculer la norme de \(\vec{w}(5\,;\,-12)\).
Voir la réponse
\(\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).
Question 2
Le vecteur \(\vec{u}(3\,;\,4)\) a pour norme \(5\). Quelle est la norme de \(-3\vec{u}\) ?
Voir la réponse
Multiplier un vecteur par \(-3\) multiplie sa norme par \(3\) : \(3\times 5=15\). Vérification : \(-3\vec{u}(-9\,;\,-12)\) et \(\sqrt{81+144}=15\).
Ne pas confondre Norme d'un vecteur et Distance
La distance se mesure entre deux points, la norme appartient à un vecteur. Elles se rejoignent pour \(\overrightarrow{AB}\) : sa norme est exactement la distance \(AB\). Mais un même vecteur peut relier une infinité de couples de points, tous à la même distance les uns des autres.
Pour aller plus loin
Cours
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Mots voisins
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