Vecteurs et droites du plan en 1ère : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

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Sommaire

Ce corrigé exercices vecteurs et droites première reprend les dix premiers exercices de la fiche. L’outil central est le critère de colinéarité : deux vecteurs \(\vec{u}\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant \(xy^{\prime}-yx^{\prime}\) est nul. On l’applique pour prouver que des droites sont parallèles, que des points sont alignés, pour trouver les valeurs d’un paramètre \(x\), et pour déterminer où une droite coupe les axes. Les derniers exercices utilisent la relation de Chasles et l’écriture \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\) pour placer un point sur une droite.

Cette correction est utile à tout élève de première qui veut fiabiliser ses calculs avec des fractions et des racines carrées, principale source d’erreurs du chapitre. Fais d’abord chaque calcul de déterminant au brouillon, puis compare avec la solution : le résultat nul ou non nul se vérifie en quelques secondes, et les pièges (valeurs approchées, coquilles de signe) sont signalés.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Vecteurs et droites du plan : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. (31 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur les vecteurs et droites du plan en première

Exercice 1 : Déterminer si les droites sont parallèles

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

\((AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires \(\iff\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=0\).

1) \(\overrightarrow{AB}\binom{-4}{1}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{4}{1}\) : \(\det=(-4)\times1-1\times4=-8\neq0\). Non parallèles.

2) \(\overrightarrow{AB}\binom{10}{5}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{-2}{-1}\) : \(\det=10\times(-1)-5\times(-2)=0\). Parallèles (\(\overrightarrow{AB}=-5\overrightarrow{CD}\)).

3) \(\overrightarrow{AB}\binom{0}{1}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{1}{0}\) : \(\det=0\times0-1\times1=-1\neq0\). Non parallèles (\((AB)\) est verticale, \((CD)\) horizontale).

4) \(\overrightarrow{AB}\binom{2}{\frac{2}{3}}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{-3}{-1}\) : \(\det=2\times(-1)-\dfrac{2}{3}\times(-3)=-2+2=0\). Parallèles.

5) \(\overrightarrow{AB}\binom{-32}{-16}\), \(\overrightarrow{CD}\binom{-20}{-8}\) : \(\det=(-32)\times(-8)-(-16)\times(-20)=256-320=-64\neq0\). Non parallèles.

Réponse : parallèles dans les cas 2) et 4) seulement.

Exercice 2 : Montrer que des droites sont parallèles

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

1) \(\overrightarrow{CD}\binom{8}{-2}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{8}{0}\) : \(\det=8\times0-(-2)\times8=16\neq0\). Non parallèles.

2) \(\overrightarrow{CD}\binom{0}{1}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{0}{-8}\) : \(\det=0\). Parallèles (deux droites verticales, d’équations \(x=4\) et \(x=-3\)).

3) \(\overrightarrow{CD}\binom{2}{3}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{1}{\frac{3}{2}}\) : \(\det=2\times\dfrac{3}{2}-3\times1=0\). Parallèles (\(\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{EH}\)).

4) \(\overrightarrow{CD}\binom{8}{-6}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{\frac{5}{3}}{-\frac{5}{4}}\) : \(\det=8\times\left(-\dfrac{5}{4}\right)-(-6)\times\dfrac{5}{3}=-10+10=0\). Parallèles.

5) \(\overrightarrow{CD}\binom{-2\sqrt{3}}{-\sqrt{2}}\), \(\overrightarrow{EH}\binom{-\sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\binom{-\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\) :

\[ \det=(-2\sqrt{3})\times\frac{\sqrt{3}}{3}-(-\sqrt{2})\times(-\sqrt{2})=-2-2=-4\neq0 \]

Non parallèles.

Réponse : parallèles dans les cas 2), 3) et 4) ; non parallèles en 1) et 5).

Exercice 3 : Déterminer si des points sont alignés

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

\(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.

1) \(\overrightarrow{AB}\binom{10}{-5}\), \(\overrightarrow{AC}\binom{13}{-6}\) : \(\det=10\times(-6)-(-5)\times13=-60+65=5\neq0\). Non alignés (de justesse : un dessin ne suffit pas).

2) \(\overrightarrow{AB}\binom{2}{1}\), \(\overrightarrow{AC}\binom{7}{\frac{7}{2}}\) : \(\det=2\times\dfrac{7}{2}-1\times7=0\). Alignés (\(\overrightarrow{AC}=\frac{7}{2}\overrightarrow{AB}\)).

3) \(\overrightarrow{AB}\binom{0}{2}\), \(\overrightarrow{AC}\binom{1}{-2}\) : \(\det=0\times(-2)-2\times1=-2\neq0\). Non alignés (\(A\) et \(B\) ont la même abscisse, pas \(C\)).

Réponse : seuls les points du cas 2) sont alignés.

Exercice 4 : Vecteurs colinéaires

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

1) \(\det(\vec{u},\vec{v})=3\times5-(-2)\times(-11)=15-22=-7\neq0\) : non colinéaires.

2) \(\det(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{5}{2}\times\dfrac{9}{2}-3\times\dfrac{15}{4}=\dfrac{45}{4}-\dfrac{45}{4}=0\) : colinéaires (\(\vec{b}=\frac{3}{2}\vec{a}\)).

3) \(\det(\vec{r},\vec{s})=(-\sqrt{2})\times(-3\sqrt{2})-(-3)\times(-2)=6-6=0\) : colinéaires (\(\vec{s}=\sqrt{2}\,\vec{r}\)).

4) \(\det(\vec{a},\vec{u})=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{7}-\dfrac{5}{12}\times\dfrac{14}{5}=\dfrac{9}{7}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{54-49}{42}=\dfrac{5}{42}\neq0\) : non colinéaires.

5) \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\). \(\det(\vec{b},\vec{v})=\sqrt{5}\times(-2\sqrt{6})-(-4\sqrt{3})\times2\sqrt{5}=-2\sqrt{30}+8\sqrt{15}\). Or \(8\sqrt{15}=\sqrt{960}\) et \(2\sqrt{30}=\sqrt{120}\), donc le déterminant n’est pas nul : non colinéaires.

Réponse : colinéaires en 2) et 3) ; non colinéaires en 1), 4) et 5).

Exercice 5 : Vérifier si des points sont alignés

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

1) \(\overrightarrow{FG}\binom{-\frac{8}{3}}{-\frac{2}{3}}\), \(\overrightarrow{FH}\binom{\frac{13}{3}}{1}\) : \(\det=-\dfrac{8}{3}\times1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times\dfrac{13}{3}=-\dfrac{24}{9}+\dfrac{26}{9}=\dfrac{2}{9}\neq0\). Non alignés.

2) \(\overrightarrow{BC}\binom{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\), \(\overrightarrow{BD}\binom{4}{4\sqrt{3}}\) : \(\det=\sqrt{2}\times4\sqrt{3}-\sqrt{6}\times4=4\sqrt{6}-4\sqrt{6}=0\). Alignés.

3) \(\overrightarrow{EF}\binom{-4}{6{,}28}\), \(\overrightarrow{EG}\binom{2}{-\pi}\) : \(\det=(-4)\times(-\pi)-6{,}28\times2=4\pi-12{,}56=4(\pi-3{,}14)\neq0\). Non alignés : 6,28 n’est qu’une valeur approchée de \(2\pi\), la calculatrice peut tromper.

4) \(\overrightarrow{AB}\binom{\sqrt{2}+4}{-\sqrt{2}-4}=(\sqrt{2}+4)\binom{1}{-1}\) et \(\overrightarrow{AD}\binom{\sqrt{5}+4}{-\sqrt{5}-4}=(\sqrt{5}+4)\binom{1}{-1}\) : les deux vecteurs sont colinéaires à \(\binom{1}{-1}\). Alignés.

5) \(\overrightarrow{CD}\binom{1-\pi}{2-2\pi}=(1-\pi)\binom{1}{2}\) et \(\overrightarrow{CH}\binom{-4}{-2}=-2\binom{2}{1}\). \(\det\left(\binom{1}{2},\binom{2}{1}\right)=1-4=-3\neq0\). Non alignés.

Réponse : alignés en 2) et 4) ; non alignés en 1), 3) et 5).

Exercice 6 : Vecteurs colinéaires et parallélogramme

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

1) Faux. \(\det(\vec{u},\vec{v})=0\times0-1\times(-3)=3\neq0\) : \(\vec{u}\) est vertical, \(\vec{v}\) horizontal.

2) Faux. \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Avec \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}\), les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles mais \(AB=2CD\) : les côtés opposés n’ont pas la même longueur (\(ABCD\) est un trapèze, ou les points sont alignés).

3) Faux. \(\overrightarrow{EF}=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{FG}\) donne \(\overrightarrow{FE}=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{FG}\) : \(E\) est sur la droite \((FG)\), mais du côté opposé à \(G\) par rapport à \(F\). Il n’appartient donc pas au segment \([FG]\) (sauf si \(F=G\)).

4) Vrai. \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), donc \(\vec{v}\binom{3\sqrt{2}}{3x}=3\vec{u}\) pour tout réel \(x\). Autre justification : \(\det=\sqrt{2}\times3x-x\times3\sqrt{2}=0\).

Réponse : 1) faux ; 2) faux ; 3) faux ; 4) vrai.

Exercice 7 : Déterminer les valeurs de x pour que les vecteurs soient colinéaires

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

1) \(\det=(2x+1)\times3-2\times(-1)=6x+5\). \(6x+5=0\iff x=-\dfrac{5}{6}\).

2) \(\det=3\times\dfrac{3}{4}-x\times x=\dfrac{9}{4}-x^2\). \(x^2=\dfrac{9}{4}\iff x=-\dfrac{3}{2}\) ou \(x=\dfrac{3}{2}\).

3) Il faut \(x\neq0\) pour que \(\vec{u}\) existe. \(\det=\dfrac{1}{x}\times x-2\times3=1-6=-5\neq0\) : aucune valeur de \(x\) ne convient.

4) \(\det=(x+1)x-3\times2=x^2+x-6\). \(\Delta=1+24=25\), racines \(\dfrac{-1-5}{2}=-3\) et \(\dfrac{-1+5}{2}=2\) : \(x=-3\) ou \(x=2\) (on vérifie : \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\)).

Réponse : 1) \(x=-\frac{5}{6}\) ; 2) \(x=\pm\frac{3}{2}\) ; 3) aucune valeur ; 4) \(x=-3\) ou \(x=2\).

Exercice 8 : Déterminer les coordonnées des points d'intersection

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

Équation de \((AB)\). \(M(x\,;\,y)\in(AB)\iff\overrightarrow{AM}\binom{x-7}{y+1}\) et \(\overrightarrow{AB}\binom{-14}{5}\) sont colinéaires :

\[ \begin{aligned} (x-7)\times5-(y+1)\times(-14)=0 &\iff 5x-35+14y+14=0 \\ &\iff 5x+14y-21=0 \end{aligned} \]

Vérification avec \(B\) : \(5\times(-7)+14\times4-21=-35+56-21=0\).

Axe des ordonnées (\(x=0\)) : \(14y=21\iff y=\dfrac{3}{2}\). Point \(\left(0\,;\,\dfrac{3}{2}\right)\).

Axe des abscisses (\(y=0\)) : \(5x=21\iff x=\dfrac{21}{5}\). Point \(\left(\dfrac{21}{5}\,;\,0\right)\).

La droite (AB) coupe les axes en (0 ; 3/2) et (21/5 ; 0)

Réponse : \((AB)\) coupe l’axe des ordonnées en \(\left(0\,;\,\frac{3}{2}\right)\) et l’axe des abscisses en \(\left(\frac{21}{5}\,;\,0\right)\).

Exercice 9 : Montrer que les vecteurs sont colinéaires avec la relation de Chasles

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

On cherche un réel \(k\) tel que \(\vec{v}=k\vec{u}\), en comparant les coefficients de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\).

1) \(-3\vec{u}=-12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{v}\). Donc \(\vec{v}=-3\vec{u}\).

2) \(\dfrac{9}{2}\vec{u}=\dfrac{9}{2}\times\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{9}{2}\times\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}+\dfrac{15}{4}\overrightarrow{AC}=\vec{v}\). Donc \(\vec{v}=\dfrac{9}{2}\vec{u}\).

3) Avec Chasles, \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}\), donc \(\vec{u}=\dfrac{15}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AC}\). Alors :

\[ -\frac{5}{4}\vec{v}=-\frac{5}{4}\times(-6)\overrightarrow{AB}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{15}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AC}=\vec{u} \]

Donc \(\vec{u}=-\dfrac{5}{4}\vec{v}\).

Réponse : \(\vec{v}=-3\vec{u}\) ; \(\vec{v}=\frac{9}{2}\vec{u}\) ; \(\vec{u}=-\frac{5}{4}\vec{v}\) : les vecteurs sont colinéaires dans les trois cas.

Exercice 10 : Relation de Chasles et colinéarité

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

On suppose \(A\neq B\). \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\) signifie que \(M\) est sur la droite \((AB)\), à l’« abscisse » \(k\) si l’on gradue la droite avec \(A\) en 0 et \(B\) en 1.

1) \(A\) est le milieu de \([MB]\iff\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}\iff\) \(k=-1\).

2) Par Chasles, \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=(k-1)\overrightarrow{AB}\), donc \(BM=|k-1|\times AB\). \(M\) est sur le cercle de centre \(B\) et de rayon \(2AB\iff|k-1|=2\iff\) \(k=3\) ou \(k=-1\).

3) \(M\in[BA]\iff M\) est entre \(A\) (\(k=0\)) et \(B\) (\(k=1\)) \(\iff\) \(0\leqslant k\leqslant 1\).

Positions de M selon k sur la droite (AB)

Réponse : 1) \(k=-1\) ; 2) \(k=-1\) ou \(k=3\) ; 3) \(k\in[0\,;\,1]\).

La méthode à retenir sur les vecteurs et droites du plan

Colinéarité : \(\vec{u}\binom{x}{y}\) et \(\vec{v}\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}\) sont colinéaires \(\iff xy^{\prime}-yx^{\prime}=0\).
Droites parallèles : \((AB)\parallel(CD)\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\).
Points alignés : \(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).
Équation de droite : \(M(x\,;\,y)\in(AB)\iff\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\), ce qui donne une équation cartésienne \(ax+by+c=0\).
Avec des vecteurs exprimés en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : se ramener aux mêmes vecteurs par Chasles, puis chercher \(k\) tel que \(\vec{v}=k\vec{u}\).

Les erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans le déterminant : c’est \(xy^{\prime}-yx^{\prime}\), un produit en croix « en diagonale ».
Conclure à l’alignement avec une valeur approchée (6,28 au lieu de \(2\pi\), exercice 5).
Ne pas simplifier les racines (\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)) avant de comparer.
Confondre \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) (parallélogramme) et \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).
Oublier l’une des deux solutions quand l’équation obtenue est du second degré (\(x^2=\frac{9}{4}\)).

Les exercices 11 à 31 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Pourquoi utiliser le déterminant plutôt que chercher un coefficient k ?

Le déterminant est un calcul unique qui marche toujours, même quand une coordonnée est nulle. Chercher \(k\) oblige à diviser, ce qui pose problème avec des zéros ; en revanche \(k\) est utile quand on veut préciser la relation, par exemple \(\vec{v}=-3\vec{u}\).

Deux droites parallèles peuvent-elles être confondues ?

Oui : des vecteurs directeurs colinéaires donnent des droites parallèles, éventuellement confondues. Pour les distinguer, on teste si un point de la première droite appartient à la seconde.

Ce chapitre sert-il pour la suite ?

Oui, la colinéarité prépare les équations cartésiennes de droites, le produit scalaire et, en terminale, la géométrie dans l’espace. Savoir calculer vite et sans erreur un déterminant avec des fractions ou des racines est un vrai gain de temps.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Vecteurs et droites du plan : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
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